Комбинаторика. 
История создания теории

Термин «комбинаторика» был введён в математический обиход знаменитым Лейбницем. Готфрид Вильгельм Лейбниц (1646−1716) — всемирно известный немецкий учёный, занимался философией, математикой, физикой, организовал Берлинскую академию наук и стал её первым президентом.

В 1666 году Лейбниц опубликовал «Рассуждения о комбинаторном искусстве». В своём сочинении Лейбниц, вводя специальные символы, термины для подмножеств и операций над ними находит все k-сочетания из n элементов выводит свойства сочетаний:

,.

комбинаторика математика умножение лейбниц.

— строит таблицы сочетаний до n = k = 12, после чего рассуждает о приложениях комбинаторики к логике, арифметике, к проблемам стихосложения и др.

В течение всей своей жизни Лейбниц многократно возвращался к идеям комбинаторного искусства. Комбинаторику он понимал весьма широко, именно, как составляющую любого исследования, любого творческого акта, предполагающего сначала анализ (расчленение целого на части), а затем синтез (соединение частей в целое). Мечтой Лейбница, оставшейся неосуществлённой, оставалось построение общей комбинаторной теории. Комбинаторике Лейбниц предрекал блестящее будущее, широкое применение^.

В XVIII веке к решению комбинаторных задач обращались выдающиеся математики. Так, математик и механик международного уровня Леонард Эйлер рассматривал задачи о разбиении чисел, о паросочетаниях, о циклических расстановках, о построении магических и латинских квадратов.

В 1713 году было опубликовано сочинение швейцарского математика Якоба Бернулли «Искусство предположений», в котором с достаточной полнотой были изложены известные к тому времени комбинаторные факты. «Искусство предположений» появилось после смерти автора и не было им завершено. Сочинение состояло из 4 частей, комбинаторике была посвящена вторая часть, в которой содержатся формулы:

для числа перестановок из n элементов;

для числа сочетаний (называемого Я. Бернулли классовым числом) без повторений и с повторениями;

для числа размещений с повторениями и без повторений.

Для вывода формул автор использовал наиболее простые и наглядные методы, сопровождая их многочисленными таблицами и примерами. Сочинение Бернулли превзошло работы его предшественников и современников систематичностью, простотой методов, строгостью изложения и в течение XVIII века пользовалось известностью не только как серьёзного научного трактата, но и как учебно-справочного издания. В работах Бернулли и Лейбница тщательно изучены свойства сочетаний, размещений, перестановок. Перечисленные комбинаторные объекты относятся к основным комбинаторным конфигурациям.

В 1896 году американский математик Элиаким Гастингс Мур (1862−1932) ввёл термин «тактическая конфигурация» в статье «Tactical memoranda», понимая под этим термином систему n множеств, содержащих, соответственно, a₁, a₂, …, a_n элементов. Тактическую конфигурацию Мур задаёт квадратной матрицей порядка n, в которой элемент a_kk, стоящий на главной диагонали, равен числу a_k (числу элементов в k-ом множестве); элемент a_ij (i j) равен числу элементов i-ого множества, инцидентных j-ому множеству.

Термин «тактика» ввёл в математику английский математик Джеймс Джозеф Сильвестр (1814−1897) в 1861 году. Сильвестр определял тактику как раздел математики, изучающий расположение элементов друг относительно друга. В сфере этого раздела находится, по мнению Сильвестра, теория групп, комбинаторный анализ и теория чисел. Мысли Сильвестра о тактике разделял его друг Артур Кэли.

Комбинаторика, пройдя многовековой путь развития, обретя собственные методы исследования, с одной стороны, широко используется при решении задач алгебры, геометрии, анализа, с другой стороны, сама использует геометрические, аналитические и алгебраические методы исследования. В конце XVIII века учёные, принадлежащие комбинаторной школе Гинденбурга, попытались построить общую комбинаторную теорию, используя бесконечные ряды. Исследователи этой школы изучили большое количество преобразований рядов: умножение, деление, возведение в степень, извлечение корней, обращение рядов, разложение трансцендентных функций. Использование производящих функций в комбинаторике можно отнести к (уже) классическим традициям.

В XX веке комбинаторика подверглась мощному процессу алгебраизации благодаря работам американо-канадских учёных Дж.-К. Рота (1964), а затем Р. Стенли. Изучение ими частично упорядоченных множеств, абстрактных свойств линейной зависимости, выявление их роли при решении комбинаторных задач способствовали обогащению комбинаторных методов исследования и дальнейшей интеграции комбинаторики в современную математику.