Понятие задача. 
Теоретические основы решения текстовых задач

В любом математическом курсе есть задачи. В обучении математике младших школьников преобладают такие, которые называют арифметическими, текстовыми, сюжетными. Эти задачи сформулированы на естественном языке (потому их называют текстовыми); в них обычно описывается количественная сторона каких-то явлений, событий (поэтому их часто называют сюжетными); они представляют собой задачи на разыскание искомого и сводятся к вычислению неизвестного значения некоторой величины (поэтому их иногда называют вычислительными).

В работе мы будем применять термин «текстовые задачи», поскольку он чаще других используется в методике обучения математике младших школьников.

Решению текстовых задач при начальном обучении уделяется огромное внимание. Связано это с тем, что такие задачи часто являются не только средством формирования многих математических понятий, но и главное — средством формирования умений строить математические модели реальных явлений, а также средством развития мышления детей.

Существуют различные методические подходы к обучению детей решению текстовых задач. Но какую бы методику обучения ни выбрал учитель, ему надо знать, как построены такие задачи, и уметь их решать прежде всего арифметическими способами.

Как было сказано выше, любая текстовая задача представляет собой описание какого-либо явления (ситуации, процесса). С этой точки зрения текстовая задача есть словесная модель явления (ситуации, процесса). [Моро 1975: 18] И, как во всякой модели, в текстовой задаче описывается не все явление в целом, а лишь некоторые его стороны, главным образом, его количественные характеристики. Рассмотрим, например, такую задачу: «Автомобиль выехал из пункта, А со скоростью 60. Через 2 ч вслед за ним выехал второй автомобиль со скоростью 90. На каком расстоянии от, А второй автомобиль догонит первый?».

В задаче описывается движение двух автомобилей. Как известно, любое движение характеризуется тремя величинами: пройденным расстоянием, скоростью и временем движения. В данной задаче известны скорости первого и второго автомобилей (60 и 90), известно, что они прошли одно и то же расстояние от пункта, А до места встречи, количественную характеристику которого и надо найти. Кроме того, известно, что первый автомобиль был в пути на 2 ч больше, чем второй.

Обобщая, можно сказать, что текстовая задача есть описание на естественном языке некоторого явления (ситуации, процесса) с требованием дать количественную характеристику какого-либо компонента этого явления, установить наличие или отсутствие некоторого отношения между компонентами или определить вид этого отношения. [Стойлова 1997: 26].

Чтобы выяснить, как построена текстовая задача, рассмотрим пример из учебного пособия Л. П. Стойловой:

«Свитер, шапку и шарф связали из 1 кг 200 г шерсти. На шарф потребовалось на 100 г шерсти больше, чем на шапку, и на 400 г меньше, чем на свитер. Сколько шерсти израсходовали на каждую вещь?».

В задаче идет речь о свитере, шапке и шарфе. Это объекты задачи. Относительно этих объектов имеются определенные утверждения и требования.

Утверждения:

• 1. Свитер, шапка и шарф связаны из 1200 г шерсти.
• 2. На шарф израсходовали на 100 г больше, чем на шапку.
• 3. На шапку израсходовали на 400 г меньше, чем на свитер.

Требования:

• 1. Сколько шерсти израсходовали на свитер?
• 2. Сколько шерсти израсходовали на шапку?
• 3. Сколько шерсти израсходовали на шарф?

Утверждения задачи называют условиями (или условием, как в начальной школе). В задаче обычно не одно условие, а несколько элементарных условий. Они представляют собой количественные или качественные характеристики объектов задачи и отношений между ними. Требований в задаче может быть несколько. Они могут быть сформулированы как в вопросительной, так и утвердительной форме. Условия и требования взаимосвязаны Систему взаимосвязанных условий и требований называют высказывательной моделью задачи.

Таким образом, чтобы понять, какова структура задачи, надо выявить ее условия и требования, отбросив все лишнее, второстепенное, не влияющее на ее структуру. Иными словами, надо построить высказывательную модель задачи.

Чтобы получить эту модель, надо текст задачи развернуть (сделать это можно письменно или устно), так как текст задачи, как правило, дается в сокращенном, свернутом виде. Для этого можно перефразировать задачу, построить ее графическую модель, ввести какие-либо обозначения и т. д.

По отношению между условиями и требованиями различают:

• а) определенные задачи — в них заданных условий столько, сколько необходимо и достаточно для выполнения требований;
• б) недоопределенные задачи — в них условий недостаточно для получения ответа;
• в) переопределенные задачи — в них имеются лишние условия.

В начальной школе недоопределенные задачи считают задачами с недостающими данными, а переопределенные — задачами с избыточными данными.

Например, задача «Возле дома росло 5 яблонь, 2 вишни и 3 березы. Сколько фруктовых деревьев росло возле дома?» является переопределенной, так как содержит лишнее условие.

Задача «Из зала вынесли сначала 12 стульев, потом еще 5. Сколько стульев осталось в зале?» является недоопределенной — в ней условий недостаточно, чтобы ответить на поставленный вопрос.

Уточним теперь смысл термина «решение задачи» [Стойлова 1997: 26]. Так сложилось, что этим термином обозначают разные понятия:

• 1) решением задачи называют результат, т. е. ответ на требование задачи;
• 2) решением задачи называют процесс нахождения этого результата, причем этот процесс рассматривается двояко: и как метод нахождения результата (например, говорят о решении задачи арифметическим способом) и как последовательность тех действий, которые выполняет решающий, применяя тот или иной метод (т.е. в данном случае под решением задачи понимается вся деятельность человека, решающего задачу).

Основными методами решения текстовых задач являются арифметический и алгебраический.

Решить задачу арифметическим методом — это значит найти ответ на требование задачи посредством выполнения арифметических действий над числами. [Смолеусова 2003: 25].

Одну и ту же задачу можно решить различными арифметическими способами. Они отличаются друг от друга логикой рассуждений, выполняемых в процессе решения задачи.

Решим, например, различными арифметическими способами такую задачу: «Сшили 3 платья, расходуя на каждое по 4 м ткани. Сколько кофт можно было сшить из этой ткани, если расходовать на одну кофту 2 м ?».

• 1 способ
• 1) 4•3=12 (м) — столько было ткани;
• 2) 12:2=6 (кофт) — столько кофт можно сшить.
• 2 способ
• 1) 4:2=2 (раза) — во столько раз больше идет ткани на платье, чем на кофту;
• 2) 3•2=6 (кофт) — столько кофт можно сшить.

Решить задачу алгебраическим способом — это значит найти ответ на требование задачи, составив и решив уравнение или систему уравнений. [Смолеусова 2003: 25].

Если для одной и той же задачи можно составить различные уравнения (системы уравнений), то это означает, что данную задачу можно решить различными алгебраическими способами.

Например, задачу: «Свитер, шапку и шарф связали из 1 кг 200 г шерсти. На шарф потребовалось на 100 г шерсти больше, чем на шапку, и на 400 г меньше, чем на свитер. Сколько шерсти израсходовали на каждую вещь?» можно решить тремя различными способами.

1 способ Обозначим через x (г) массу шерсти, израсходованной на шапку. Тогда на шарф будет израсходовано (x+100) г, а на свитер ((x+100)+400) г. Так как на все три вещи израсходовано 1200 г, то можно составить уравнение:

x+(x+100)+((x+100)+400)=1200.

Выполнив преобразования, получим, что x=200. Таким образом, на шапку было израсходовано 200 г, на шарф — 300 г, так как 200+100=300, на свитер — 700 г, так как (200+100)+400=700.

2 способ Обозначим через x (г) массу шерсти, израсходованной на шарф. Тогда на шапку будет израсходовано (х-100) г, а на свитер — (х+400) г. Поскольку на все три вещи израсходовано 1200 г, то можно составить уравнение:

х+(х-100)+(х+400)=1200.

Выполнив преобразования, получим, что х=300. Таким образом, если на шарф израсходовали 300 г, то на шапку 200 г (300−100=200), а на свитер 700 г (300+400=700).

3 способ Обозначим через x (г) массу шерсти, израсходованной на свитер. Тогда на шарф будет израсходовано (х-400) г, а на шапку (х-400−100) г. Поскольку на все три вещи израсходовано 1200 г, то можно составить уравнение:

х+(х-400)+(х-500)=1200.

Выполнив преобразования, получим, что х=700. Таким образом, если на свитер израсходовано 700 г, то на шарф пошло 300 г (700−400=300), а на шапку — 200 г (700−400−100=200).

Решение любой текстовой задачи — процесс сложной умственной деятельности. Чтобы овладеть им, надо знать основные этапы решения задачи и некоторые приемы их выполнения.

Деятельность по решению задачи арифметическим методом включает следующие основные этапы:

• 1. Анализ задачи.
• 2. Поиск плана решения задачи.
• 3. Осуществление плана решения задачи.
• 4. Проверка решения задачи.

Рассмотрим каждый этап более подробно.

Анализ задачи. Основное назначение этого этапа — понять в целом ситуацию, описанную в задаче, выделить условия и требования, назвать известные и искомые объекты, выделить все отношения (зависимости) между ними.

Разобраться в содержании задачи, вычленить условия и требования можно, если задать специальные вопросы и ответы на них:

• · О чем задача?
• · Что требуется найти в задаче?
• · Что обозначают те или иные слова в тексте задачи?
• · Что в задаче неизвестно?
• · Что является искомым?

Большую помощь в осмыслении задачи оказывает другой прием — перефразировка текста задачи. Он заключается в замене данного в задаче описания некоторой ситуации другим, сохраняющим все отношения, связи, качественные характеристики, но более явно их выражающим. Это достигается в результате отбрасывания несущественной, излишней информации, замены описания некоторых понятий соответствующими терминами и, наоборот, замены некоторых терминов описанием содержания соответствующих понятий; преобразование текста задачи в форму, удобную для поиска плана решения.

Особенно эффективно использование данного приема в сочетании с разбиением текста на смысловые части.

Результатом перефразировки должно быть выделение основных ситуаций и составление таблицы или чертежа.

После построения вспомогательной модели необходимо проверить:

• 1) все ли объекты показаны на модели;
• 2) все ли отношения между объектами отражены;
• 3) все ли числовые данные приведены;
• 4) есть ли вопрос (требование) и правильно ли он указывает искомое?

Поиск и составление плана решения задачи. Назначение этого этапа: установить связь между данными и исходными объектами, наметить последовательность действий.

План решения задачи — это лишь идея решения, его замысел. Может случиться, что найденная идея неверна. Тогда надо вновь возвращаться к анализу задачи и начинать все сначала.

Поиск плана решения задачи является трудным процессом, который точно не определен. Можно только указать некоторые приемы, которые позволят осуществлять этот этап. Одним из наиболее известных приемов поиска плана решения задачи арифметическим способом является разбор задачи по тексту или по ее вспомогательной модели.

Разбор задачи проводится в виде цепочки рассуждений, которая может начинаться как от данных задачи, так и от ее вопросов.

При разборе задачи от данных к вопросу решающий выделяет в тексте задачи два данных и на основе знания связи между ними (такие знания должны быть получены при анализе задачи) определить, какое неизвестное может быть найдено по этим данным и с помощью какого арифметического действия. Затем, считая это неизвестное данным, решающий вновь выделяет два взаимосвязанных данных, определяет неизвестное, которое может быть найдено по ним и с помощью какого действия и т. д., пока не будет выяснено, какое действие приводит к получению искомого в задаче объекта.

При разборе задачи от вопроса к данным нужно обратить внимание на вопрос задачи и установить (на основе информации, полученной при анализе задачи), что достаточно узнать для ответа на этот вопрос. Для чего нужно обратиться к условиям и выяснить, есть ли для этого необходимые данные. Если таких данных нет или есть только одно данное, то установить, что нужно знать, чтобы найти недостающее данное (недостающие данные), и т. д. Потом составляется план решения задачи. Рассуждения при этом проводятся в обратном порядке.

Поиск плана решения задачи может проводиться по вспомогательной модели, выполненной при анализе задачи.

Осуществление плана решения задачи. Назначение этого этапа — найти ответ на требование задачи, выполнив все действия в соответствии с планом.

Для текстовых задач, решаемых арифметическим способом, используются следующие приемы:

• — запись по действиям (с пояснением, без пояснения, с вопросами);
• — запись в виде выражения.

Проверка решения задачи. Назначение данного этапа — установить правильность или ошибочность выполнения решения.

Известно несколько приемов, помогающих установить, верно ли решена задача. Рассмотрим основные:

1. Установление соответствия между результатом и условиями задачи.

Для этого найденный результат вводится в текст задачи и на основе рассуждений устанавливается, не возникает ли при этом противоречий.

Заметим, что при использовании данного приема проверяются все отношения, имеющиеся в задаче, и если устанавливается, что противоречий не возникает, то делают вывод о том, что задача решена верно.

2. Решение задачи другим способом.

Пусть при решении задачи каким-то способом получен некоторый результат. Если ее решение другим способом приведет к тому же результату, то можно сделать вывод о том, что задача была решена верно.

Заметим, что если задача решена первоначально арифметическим способом, то правильность ее решения можно проверить, решив задачу алгебраическим методом.

Не следует также думать, что без проверки нет решения текстовой задачи. Правильность решения обеспечивается прежде всего четкими и логичными рассуждениями на всех других этапах работы над задачей.

Рассматривая процесс решения текстовой задачи, мы неоднократно использовали термин «модель», «моделирование». Это не случайно. Во всех науках модели выступают как мощное орудие познания. Реальные объекты и процессы столь многогранны и сложны, что лучшим способом их изучения часто является построение и исследование модели.

Ранее мы установили, что текстовая задача — это словесная модель некоторого явления (ситуации, процесса). Чтобы решить такую задачу, надо перевести ее на язык математических действий, т. е. построить ее математическую модель.

Вообще, математическая модель — это описание какого-либо реального процесса на языке математических понятий, формул и отношений.

Математической моделью текстовой задачи является выражение (либо запись по действиям), если задача решается арифметическим методом, и уравнение (либо система уравнений), если задача решается алгебраическим методом.

В процессе решения задачи четко выделяются три этапа математического моделирования:

• 1 этап — перевод условий задачи на математический язык; при этом выделяются необходимые для решения данные и искомые и математическими способами описываются связи между ними;
• 2 этап — внутримодельное решение (т.е. нахождение значения выражения, выполнение действий, решение уравнения);
• 3 этап — интерпретация, т. е. перевод полученного решения на тот язык, на котором была сформулирована исходная задача.

Модели бывают разные. Все модели можно разделить на схематизированные и знаковые по видам средств, используемых для их построения.

Схематизированные модели, в свою очередь, делятся на вещественные и графические в зависимости от того, какое действие они обеспечивают. Вещественные (или предметные) модели обеспечивают физическое действие с предметами. Они могут строиться из каких-либо предметов (пуговиц, спичек, бумажных полосок и т. д.) или могут быть представлены инсценировками сюжета задач. К такому виду моделей причисляют и мысленное воссоздание реальной ситуации, описанной в задаче, в виде представлений.

Графические модели используются, как правило, для обобщенного, схематического воссоздания ситуации задачи. К графическим следует отнести следующие виды моделей:

• 1) рисунок;
• 2) условный рисунок;
• 3) чертеж;
• 4) схематичный чертеж (схема).

Знаковые модели могут быть выполнены как на естественном языке, так и на математическом языке. К знаковым моделям, выполненным на естественном языке, можно отнести краткую запись задачи, таблицы.

Знаковыми моделями текстовых задач, выполненными на математическом языке, являются: выражение, уравнение, система уравнений, запись решения по действиям. Поскольку на этих моделях происходит решение задачи, их называют решающими моделями. Остальные модели, все схематизированные и знаковые, выполненные на естественном языке,? это вспомогательные модели, которые обеспечивают переход от текста задачи к математической модели.

Для большинства текстовых задач приходится строить различные вспомогательные модели. С одной стороны, эти модели представляют собой результат анализа задачи, но с другой — построение таких моделей организует и направляет детальный и глубокий анализ задачи.

Остановимся на вопросе о классификации задач.

Все арифметические задачи по числу действий, выполняемых для их решения, делятся на простые и составные. Задача, для решения которой надо выполнить один раз арифметическое действие, называется простой. [Бантова 1984: 3] Задача, для решения которой надо выполнить несколько действий, связанных между собой (независимо от того, будут ли это разные или одинаковые действия), называется составной. [Бантова 1984: 3].

Простые задачи можно разделить на виды либо в зависимости от действий, с помощью которых они решаются (простые задачи, решаемые сложением, вычитанием, умножением, делением) (Приложение 1,2), либо в зависимости от тех понятий, которые формируются при их решении (Приложение 3).

Для составных задач нет такого единого основания для классификации, которое позволило бы с пользой для дела разделить их на определенные группы. Однако по методическим соображениям целесообразно выделить из всего многообразия задач некоторые группы, сходные либо математической структурой (например, задачи, в которых надо сумму разделить на число), либо способом решения (например, задачи, решаемые способом нахождения значения постоянной величины), либо конкретным содержанием (например, задачи, связанные с движением).

Для решения составных задач необходимо знать виды зависимостей, которые возможны между величинами, т. е. свойства прямой и обратной пропорциональности. (Приложение 4).