Частные производные.
Математический анализ
Определение. Частной производной функции нескольких переменных по одной из этих переменных называется предел отношения соответствующего частного приращения функции к приращению рассматриваемой независимой переменной при стремлении последнего к нулю (если этот предел существует). Величина? z = f (x+?x, y+?y)-f{x, у) называется полным приращением функции в точке (х; у). Если задать только… Читать ещё >
Частные производные. Математический анализ (реферат, курсовая, диплом, контрольная)
Дадим аргументу х приращение? х, аргументу у — приращение? у. Тогда функция z получит наращенное значение f (х+?х, у+?у).
Величина ?z = f (x+?x, y+?y)-f{x, у) называется полным приращением функции в точке (х; у). Если задать только приращение аргумента x или только приращение аргумента у, то полученные приращения функции соответственно и называются частными.
Полное приращение функции, вообще говоря, не равно сумме частных, т. е.
Пример 6. Найти частные и полное приращения функции z = xy.
Решение.
; ;
.
Получили, что.
Определение. Частной производной функции нескольких переменных по одной из этих переменных называется предел отношения соответствующего частного приращения функции к приращению рассматриваемой независимой переменной при стремлении последнего к нулю (если этот предел существует).
Обозначается частная производная так:
или.
или Для нахождения производной надо считать постоянной переменную у, а для нахождения — переменную х. При этом сохраняются известные правила дифференцирования.
Пример. Найти частные производные функции:
a) z = x ln y+.
Решение: Чтобы найти частную производную по х, считаем у постоянной величиной. Таким образом, Аналогично, дифференцируя по у, считаем х постоянной величиной, т. е.
.
