Осевая симметрия. 
Основы движения

Точки Х и Х¹ называются симметричными относительно прямой а, и каждая из них симметрична другой, если, а является серединным перпендикуляра отрезка ХХ¹. Каждая точка прямой, а считается симметрично самой себе (относительно прямой а) если дана прямая а, то каждой точке Х соответствует единственная точка Х¹, симметричная Х относительно а.

Симметрией плоскости относительно прямой, а называется такое отображение, при котором каждой точке этой плоскости ставится в соответствии точка, симметричная ей относительно прямой а.

Докажем, что осевая симметрия является движением используя метод координат: примем прямую, а за ось х декартовых координат. Тогда при симметрии относительно нее точка, имеющая координаты (х;у) будет преобразована в точку с координатами (х ,-у).

Возьмем любые две точки А (х1, -у1) и В (х2, -у2) и рассмотрим симметричные АВ и А¹ В¹, получим АВ =А¹ В¹.

Таким образом, осевая симметрия сохраняет расстояние, следовательно она является движением.

Центральная симметрия

Можно дать такое определение:

Центральная симметрия с центром в точке О это такое отображение плоскости, при котором любой точке Х сопоставляется такая точка Х¹, что точка О является серединой отрезка ХХ¹ .

Однако можно заметить, что центральная симметрия является частным случаем поворота на 180 градусов. Действительно, пусть при центральной симметрии относительно точки О точка Х перешла в Х¹. тогда угол ХОХ¹= 180 градусов, как развернутый, и ХО = ОХ¹, следовательно такое преобразование является поворотом на 180 градусов. Отсюда также следует, что центральная симметрия также является движением.

Центральная симметрия является движением, изменяющим направление на противоположные «движение, изменяющее направление на противоположные, являются центральной симметрией.».

Поворот

Поворот плоскости относительно центра О на данный угол в в данном направлении определяется так: каждой точке Х плоскости ставится в соответствие такая точка Х¹, что во-первых, ОХ=ОХ¹, во-вторых угол ХОХ¹ равен углу поворота в и, в-третьих ОХ¹ откладывается от луча ОХ в заданном направлении. Точка О называется центром поворота, а угол в — углом поворота. Поворот является движением.