Интегрирование функции комплексного переменного

Здесь из действительного анализа понадобится понятие криволинейного интеграла второго рода от функции двух действительных переменных. Приведем соответствующую символику и терминологию.

Говорят, что функция f (x_ty) непрерывна вдоль кривой Г с/?², если для любого ?>0 найдется такое ?>0, что f (x_], y_])~ f (x_2>y₂) для любых двух точек (*,_у,), (х₂, у₂) е Г, расстояние между которыми менее S.

Понятие одномерного определенного интеграла по отрезку можно многими способами перенести на случай, когда множеством интегрирования является плоская или пространственная кривая. Такого рода интегралы называются криволинейными. В приложениях принято рассматривать криволинейные интегралы двух типов (родов) — от выражений, имеющих скалярный смысл (интегралы первого рода) или смысл векторный (интегралы второго рода). Напомним определение интеграла второго рода для случая, когда кривая интегрирования не имеет точек самопересечения и участков самоналегания. Например, кривая вроде восьмерки для наших целей не годится, а кривая в форме буквы С подойдет.

Итак, пусть кривая Г ² задана параметрически:

Кривая может быть не замкнутой с концами а, Ь — образами соответственно а, р при отображении (8.1), может быть и замкнутой (Ь = а). Предположим, что функции Р (х, уQ (x, y) определены вдоль кривой Г. Выберем сетку {/₀, с [а, р] и каждому узлу t_k сопоставим точку М_к с координатами х_к = (p{t_k), у_к = j/(t_k). Кривая распадается на п частичных дуг с концами.

На каждом частичном отрезке [/*,/*+,]{к =0,1…л-1) выберем по одной точке т_к, положим <^_к =<�р (г*), tj_k =у/(т_к) и составим сумму.

где Ах_к = х_к+у — х_к, Ау_к = у_к+х — у_к. Если при стремлении мелкости сетки к нулю предел указанных сумм существует и конечен, то этот предел называется криволинейным интегралом второго рода (криволинейным интегралом по координатам) и обозначается символом.

Физический смысл интеграла пояснялся в действительном анализе: пусть материальная точка движется в плоскости вдоль кривой Г под действием переменной силы (вектора с компонентами P, Q), тогда интеграл (8.3) дает работу по перемещению точки из положения а в положение b.

Укажем без вывода теорему существования интеграла: если кривая Г спрямляемая, а функции P, Q вдоль нес непрерывны, то интеграл (8.3) существует. Если при этом кривая гладкая или кусочно гладкая, то интеграл сводится к обычному определенному интегралу по отрезку:

Смотрите об этом, например, пособие [7], стр. 319−321.

В теории интегрирования используется понятие контура. Это — спрямляемая замкнутая жорданова кривая. Из курса действительного анализа читатель, возможно, помнит о формулах Грина — формулах интегрального исчисления функций многих переменных, связывающих значения п — кратного интеграла по области и (я-1) — кратного интеграла по границе Г =dG этой области. В простейшем виде криволинейный интеграл по контуру выражается через двойной интеграл, но замыканию внутренности контура, который обходится против хода часовой стрелки:

Это равенство иногда связывают с Гауссом или Риманом, но это не является исторически верным, так как формула (8.5) встречалась еще у Эйлера (1771).

Перейдем к понятию интеграла комплекснозначной функции, но кривой. Пусть дана спрямляемая жорданова кривая Г cz С_г с уравнением z = (p (t е[а, р] и определена функция / :Г —" C_w. Пусть {t_k} - сетка на [ог,/?]Д = 0,1,…, л. Ей соответствует разбиение кривой Г на дуги {z =

_k).^, к = 0,1,…, л-1}. Пусть Тц — точка на fo,>*,],?* =<�р (т_к). Составим сумму.

Функция / называется интегрируемой по кривой Г, если существует конечный предел сумм (8.6) при стремлении мелкости сетки Я к нулю, т.с. существует комплексное число / со свойством: для любого €>0 существует такое S > 0, что при Я < S выполняется неравенство | / -51< ?. Число / - это и есть, по определению, интеграл от функции / вдоль (или по) кривой Г, обозначаемый символом J f (z)dz, а Г называется кривой интегрирования, г Теорема. Если функция непрерывна вдоль спрямляемой жордановой кривой, то эта функция по кривой интегрируема.

Доказательство. В интегральной сумме (8.6) отделим соответственно действительную и мнимую части 5,5₂. Полагая.

получим.

Они представляют собой интегральные суммы для криволинейных интегралов соответственно.

Эти интегралы существуют по указанной выше теореме существования для криволинейных интегралов (8.3). Таким образом, если обозначить / = /, + il₂, то.

В процессе доказательства теоремы установлено не только существование интеграла, но и получено его представление через два криволинейных интеграла второго рода в смысле действительного анализа. В свою очередь формула даст возможность свести вычисление интеграла от непрерывной функции / вдоль гладкой спрямляемой жордановой кривой Г к вычислению двух интегралов Римана по отрезку. Пусть такая кривая задана уравнением z = z (t) =

где /е[а, Д], начало и конец кривой соответственно а = z (a), b = z (p). Согласно (8.4).

аналогично записывается второй интеграл. Следовательно,.

Или, что более кратко,.

Заметим, что в некоторых руководствах по ТФКП это равенство сразу берется за определение интеграла (см., например работу [16, с.79]).

Пример. Пусть Г — это окружность z (t) = a + re^u, tе[0,2тг] и / (z) = (z — а)", neZ. Имеем z) = ire", f{z (t)) = г^пе^ш. По формуле (8.8).

Следует рассмотреть два случая. При п*- получим.

в силу периодичности показательной функции. Если же п = — 1, то /=/• 2п. Таким образом, целые степени z-a обладают так называемым свойством ортогональности:

которое в дальнейшем неоднократно будег использовано.

Перечислим основные свойства интеграла от комплексных функций, вытекающие из определения интеграла или равенства (8.8). Кривые интегрирования предполагаются гладкими или кусочно гладкими, функции вдоль них — непрерывными.

Ориентированность. При замене положительного направления пути интегрирования на противоположное знак интеграла изменяется:

Линейность. Если функции /, g интегрируемы вдоль кривой Г, то их линейная комбинация cif + bg (ci>b€ С) — также и.

Аддитивность. Пусть даны две кусочно гладкие кривые Г, Г₂, заданные соответственно уравнениями z = (p (t z = y/(t)>t е[Д,/?₂],.

причем #>(/?,) = ^(Д). Объединением Г = Г,^Г₂ этих кривых называется кривая с уравнением.

Для непрерывной на Г функции /(z) непосредственно из определения интеграла следует, что.

Это и есть свойство аддитивности. Продемонстрируем его на следующем примере.

Пусть /(z) = Rez, а пути заданы так:

Требуется вычислить интеграл от этой функции по объединению указанных путей.

Прежде всего для понимания сути дела следует сделать чертеж (предоставляем это читателю). Искомый интеграл равен.

После очевидных упрощений приходим к сумме.

Инвариантность. Одна и та же кривая может быть параметризована многими способами. Пусть кусочно гладкая кривая Г задана одним из путей определенного класса у :z = (p (t t е [а,/?]. Другой путь этого же класса /, :z = ^®, г €[",/?,] получается из у допустимой заменой параметра: существует такое возрастающее кусочно гладкое сюръективное отображение (идентификатор путей) г:[",/?]->[",/?,], что if/{r{t)) = (p{t) V7e[ar,/?]. Свойство инвариантности состоит в том, что для непрерывной на Г функции ее интегралы по путям у_у, у одинаковы. Таким образом, при переходе к иной параметризации кривой значение интеграла по ней не изменяется — оно зависит лишь от функции / и кривой интегрирования Г. Здесь доказательство этого свойства не приводится. Оно основано на формуле замены переменной в определенном интеграле одномерного действительного анализа — смотрите, например, работу [16, с. 81−82].

Оценка интеграла. Пусть на кусочно-гладкой кривой Г функция /(z) непрерывна и на ней |/(z)|< А/. Тогда.

где | Г | — длина кривой. Это важное свойство достаточно проверить для интегральных сумм (8.6), так оно остается верным и в пределе для интегралов. Для интегральных сумм (8.6) по правилу «модуль суммы не превосходит суммы модулей» имеем | S |< f (?_k | • | Az_k |< М • Az_k |. Здесь справа сум;

к к

ма — это длина ломаной с вершинами z_k, вписанной в Г. Длина ломаной, как известно, не больше длины кривой, поэтому | S |< Л/* | Г|.

Задачи к главе 8.

8.1. Вычислить интеграл J|z|.

• а) прямолинейный отрезок с началом -1 и концом 1;
• б) нижняя половина окружности | z |= 1 с начальной точкой z = -1.
• 8.2. а).Найти интеграл jz²dz, где Г — ломаная с вершинами в точках

г.

z = 0; z = 1 + /, z = 2 + /;

б). Вычислить интеграл f-т=dz_y где кривая интегрирования есть верх;

;.Vz.

няя половина окружности | z |= 1 с начальной точкой z = 1 и ветвь корня такова, что л/l = 1.

8.3. Вычислить интеграл /=j—dz> где кривая интегрирования — это г ²

граница квадрата ABCD, вершины которого имеют комплексные координаты соответственно 1, /, -1,-/. Направление обхода положительное (против хода часовой стрелки).