Баллистический транспорт носителей заряда

Баллистический транспорт в наноструктурах заключается в переносе электронов без рассеяния. В противоположность этому в макроструктурах электроны могут подвергаться весьма существенному рассеянию на колебаниях кристаллической решетки, на структурных дефектах либо на границе раздела фаз, а также при взаимных столкновениях.

Электрон, сталкивающийся с другим электроном или испытывающий рассеяние на колебаниях решетки, на дефектах либо на границе раздела, неизбежно изменяет свое энергетическое состояние.

Среднее расстояние, которое электрон проходит между двумя ближайшими актами рассеяния, называют средней длиной свободного пробега.

В макроскопических системах средняя длина свободного пробега электронов всегда намного меньше размера этих систем. Для них справедливы следующие допущения:

• 1) процессы рассеяния носителей заряда локальны, т. е. происходят в определенных точках пространства;
• 2) рассеяние непрерывно во времени;
• 3) рассеяние и поля, инициирующие движение носителей заряда, малы настолько, что оба эти фактора вызывают независимые отклонения в равновесии всей системы;
• 4) масштаб времени для наблюдения за системой выбран таким образом, что регистрируются только события, которые являются медленными по отношению к среднему времени между двумя ближайшими актами рассеяния.

Такие допущения позволяют использовать кинетическое уравнение Больцмана для описания транспорта носителей заряда в макроскопических системах.

В наноструктурах условия для транспорта носителей заряда существенно отличаются от таковых в макросистемах. В структурах с размером менее длины свободного пробега носителей перенос носителей заряда происходит без их рассеяния. Такой перенос называют баллистическим транспортом. При этом допущения, позволяющие описывать транспорт носителей заряда с использованием кинетического уравнения Больцмана, теряют свою силу.

Основные эффекты, относящиеся к баллистическому транспорту, зависят от соотношения между размерами структуры, в которой рассматривается перенос носителей заряда, и характерными длинами свободного пробега.

Ключевыми являются длины свободного пробега, характеризующие упругое и неупругое рассеяние носителей заряда.

Средняя длина свободного пробега при упругом рассеянии — это среднее расстояние, которое проходит носитель заряда между двумя ближайшими актами упругого рассеяния.

Она определяется скоростью Ферми.

v_F = (2Е_F/m)^½

где ЕF — энергия Ферми) и временем рассеяния.

ф_sc = Dd/v²_F

наноматериал заряд электрон интерференция баллистический где D — коэффициент диффузии носителей и d — размерность структуры) как l_e = v_Fф_sc, когда электронная система вырождена при низкой температуре.

Средняя длина свободного пробега при неупругом рассеянии — это расстояние, на протяжении которого электронная волна изменяет свою фазу вследствие рассеяния.

Численно это.

l_in = v_Fф_ц

где ф_ц — время релаксации фазы (или энергии). Имеется другой параметр, характеризующий неупругое рас-сеяние носителей заряда.

Длина фазовой когерентности.

l_ц = (Dф_ц)^½

— это растояние, на протяжении которого электронная волна сохраняет свою фазу, или, как еще говорят, подвижный носитель сохраняет свою фазовую память. Следует иметь в виду, что средняя длина свободного пробега при неупругом рассеянии и длина фазовой когерентности представляют собой различные характеристики. Длина фазовой когерентности меньше, чем средняя длина свободного пробега при неупругом рассеянии. Оба приведенных характеристических параметра важны при анализе условий фазовой интерференции электронных волн.

В твердых телах средняя длина свободного пробега для неупругого рассеяния больше, чем для упругого. Транспорт носителей заряда в структурах с размером между этими двумя характеристиками происходит квазибаллистически, т. е. со слабым рассеянием.

Одной из важных размерных характеристик для наноструктур является длина волны Ферми.

лF = 2р/kF,.

где kF — волновой вектор, соответствующий энергии Ферми. При температуре абсолютного нуля электроны находятся в состояниях, определяемых соотношением |k| < kF, что эквивалентно электронным волнам с длиной волны л > лF.

Сравнивая размер наноструктуры со средней длиной свободного пробега электронов и длиной волны Ферми, характеризующих материал, из которого данная структура изготовлена, можно оценить основные особенности движения носителей заряда в этой наноструктуре. В металлах средняя длина свободного пробега электронов даже при низких температурах обычно не превышает 10 нм. Эта величина сравнима или меньше размеров типичных наноструктур.

Вследствие этого баллистический транспорт в металлических наноструктурах реализуется с трудом. Более того, длина волны Ферми в них тоже очень мала — 0,1−0,2 нм.

В результате квантование энергетических уровней в металлах не является существенным фактором, за исключением очень низких температур, когда расстояние между двумя соседними энергетическими уровнями становится сравнимым с тепловой энергией (kBT).

По-этому наиболее существенное разделение энергетических уровней в квантовых точках из металлов связано с кулоновским взаимодействием.

Транспорт носителей заряда в полупроводниках характеризуется сред-ней длиной свободного пробега электронов, которая может доходить до не-скольких микрометров.

Транспорт довольно легко реализуется в наноструктурах из полупроводников. Так, при комнатной температуре средняя длина свободного пробега электронов при неупругом рассеянии достигает 50−100 нм в Si и около 120 нм в GaAs.

Более того, длина волн Ферми в полупроводниках достигает 30−50 нм. Когда размер структур становится сравнимым с этими величинами, квантование энергии, связанное с эффектом квантового ограничения, становится существенным фактором, определяющим электронные свойства и транспорт носителей заряда в них.

Идеальный баллистический транспорт носителей заряда в наноструктурах характеризуется универсальной баллистической проводимостью, которая не зависит от материала и определяется лишь фундаментальными константами. Наиболее простым прибором для иллюстрации этого является проводник с двумя контактами. Предполагается, что в этом канале нет никаких неоднородностей, приводящих к рассеянию носителей. Кроме того, полагается, что связь этого совершенного проводящего канала с резервуарами для электронов осуществляется посредствам безотражательных проводников, что предполагает неизбежное попадание в резервуар всех электронов, вышедших из канала.

Будем считать, что вся структура находится при температуре абсолютного нуля и резервуары заполнены электронами до уровней, характеризуемых электрохимическими потенциаламим1 и м2, причем м1 > м2. Если электронные состояния между м1 и м2 полностью заняты, между резервуарамипротекает ток.

I = (м1 — м2)eн(dn/dм), (1.7).

где е — заряд электрона; v — составляющая скорости электронов на поверхности Ферми вдоль оси канала; dn/dм — плотность электронных состояний в канале с учетом вырождения по спину.

В квантовом шнуре.

dn/dм = 1/рhн.

Подставляя.

(м1 — м2) = е(V1 — V2),.

где V1 и V2 — электрические потенциалы, вызывающие разность электрохимических потенциалов в резервуарах, проводимость квантового шнура получаем в виде.

G = I/(V1 — V2) = е²/ р h = 2е²/h. (1.8).

Это проводимость идеального одномерного проводника, который функционирует в баллистическом режиме. Она определяется только фундаментальными константами — зарядом электрона и постоянной Планка. Величину e²/h = 38,740 мкСм называют единицей квантовой проводимости. Соответствующее сопротивление h/e² = 25 812,807 Ом.

Приведенные рассуждения могут быть обобщены на случай, когда проводящий канал имеет более одного энергетического состояния ниже уровня Ферми.

Для канала с N разрешенными состояниями, или, что-то же самое, с N передающими модами, получаем.

G = N(2e²/h). (1.9).

Проводимость канала с переменным числом передающих мод должна квантоваться в единицах 2е²/h.

Это наблюдается в квантовых точечных контактах, которые представляют собой узкие двумерные каналы, соединяющие широкие резервуары с электронами.

Как только движение электрона становится когерентным, в том смысле, что электрон проходит через всю структуру без рассеяния, его волновая функция будет сохранять определенную фазу.

При этом электрон способен продемонстрировать разнообразные интерференционные эффекты.

Рассмотрим интерференцию двух волн, представленных волновыми функциями в общем виде.

ш = Aexp (iц).

Когда две таких волны складываются, вероятность появления новой волны определяется соотношением.

W = |ш1 + ш2|² = |A1|2 + | A2|² + 4|A1 A2|²cos (ц1 — ц2). (1.10).

Эта вероятность может изменяться в пределах от суммы амплитуд двух взаимодействующих волн до их разности, в зависимости от соотношения их фаз (ц1 и ц2).

В отличие от наноструктур для макроскопических систем не важно сохранять какую-либо информацию относительно фаз взаимодействующих электронных волн, по крайней мере, по двум причинам.

Во-первых, их размеры больше и длины фазовой когерентности, и средней длины свободного пробега носителей заряда при неупругом рассеивании.

Во-вторых, усреднение по большому количеству парных взаимодействий полностью сглаживает эффект от интерференции отдельных электронных волн, потому что все они объединяются случайным образом. Этого не происходит в наноструктурах, где усреднение сведено к минимуму, что и позволяет наблюдать квантовые интерференционные эффекты.