Закрепление изученного. 
Разработка и проведение урока математики

При закреплении изученного обеспечивается усвоение учащимися учебного материала на уровне, отвечающем программным требованиям.

Как известно /33,36,136,264 и др./, знания усваиваются только в ходе соответствующей собственной работы с ними. Поэтому при закреплении изученного особое внимание должно уделяться организации собственной деятельности учащихся в форме, позволяющей учителю проконтролировать её ход и получаемые результаты. Такие «материализованные» действия (подконтрольная работа) должны завершаться постепенным снятием внешнего контроля и переходом к выполнению этих действий в умственном плане.

Поясним сказанное на примере организации изучения правила округления натуральных чисел по следующей методике /29/.

Прежде всего замечаем, что правильное выполнение процесса округления предполагает осуществление таких операций:

• а)отделяются цифры, стоящие за разрядом, до которого идёт округление;
• б)устанавливается, находится ли первая отделённая цифра среди цифр 0,1,2,3,4 или среди цифр 5,6,7,8,9;
• в)если это одна из цифр 0,1,2,3 или 4, то данное число заменяется таким числом, у которого неотделённые цифры сохраняются, а все отделённые цифры заменяются нулями;

если же это одна из цифр 5,6,7,8 или 9, то цифра, стоящая в разряде, до которого ведётся округление, увеличивается на 1, а все отделённые цифры заменяются нулями.

На этапе «ориентировки» краткая схематическая запись правила может быть дана в виде, поясняющем его применение при округлении чисел 2165 и 174 827 до сотен:

• а)21|65а)1748|27,
• б)21|65 б)1748|27,
• в)подчёркнута одна из цифр 5,6,7,8,9в)подчёркнута одна из цифр 0,1,2,3,4,

поэтому поэтому 1748|27 174 800.

Подконтрольная работа осуществляется по этим образцам, а на умственном этапе постепенно отказываются от вспомогательных записей: правильность работы контролируется по конечному результату.

В ходе закрепления, организуя подобным образом воспроизведение изученного и его повторение, можно обеспечить запоминание учебного материала и формирование умений применять его при решении задач.

Безусловно, в процессе обучения учащемуся приходится многое запоминать специально (произвольное запоминание). При этом он нередко должен ставить перед собой цель — запомнить точно, полно и по возможности прочно то, что намечено им самим или задано учителем. Разумеется, запоминание затрудняется, если материал плохо понят. То же самое наблюдается и в случае, когда усвоению подлежит материал относительно большого объёма. Облегчить же закрепление помогает использование возможностей непроизвольного запоминания, происходящего без специальной установки. Непроизвольно запоминается то, что интересует учащихся, действует на их чувства, с чем они активно оперируют, часто используют. Вообще говоря, успешное запоминание материала (произвольное или непроизвольное) возможно тогда, когда учащиеся выполняют над ним активную, мыслительную деятельность и эта деятельность способствует углубленному пониманию материала.

Используемую в этой связи систему приёмов проиллюстрируем на примере закрепления введённого определения понятия модуля числа:

• — учащиеся воспроизводят определение модуля числа, а учитель сопровождает их ответы соответствующими примерами или контрпримерами, вскрывая в последнем случае характерные ошибки учащихся типа: «модуль отрицательного числа есть число положительное» ;
• — учащимся предлагается применить (а значит, и сформулировать в ходе применения) определение модуля числа при нахождении значений, например, следующих выражений: -7, |2,5|, |0|;
• — учащиеся воспроизводят это определение и применяют его для решения заданий, предлагаемых учителем;
• — учащиеся составляют примеры на применение определения модуля числа и решают их письменно;
• — учащиеся воспроизводят это определение и сопровождают его устным решением составленных ими примеров.

Иногда же оказывается полезным использование специальных приёмов, облегчающих запоминание учебного материала. Такие приёмы называют мнемоническими. Они применяются с привлечением мнемонических схем, фраз, опорных сигналов и т. д. Приведём, например, одну из мнемонических фраз, придуманных для запоминания первых шести цифр, используемых в записи числа: «Это я знаю и помню прекрасно». Подсчитывая количество букв каждого слова данной фразы, можно воспроизвести эту запись: =3,14 159… .

Заучивая учебный материал, нельзя ограничиваться (как учителю, так и учащимся) лишь чтением его вслух или про себя. Надобно ещё письменно воспроизвести его по памяти, фиксируя план изложения, чертежи, доказательства и пр. При этом учебный материал запечатляется прочнее, поскольку нервы, ведущие от глаза к мозгу, в двадцать пять раз толще нервов, ведущих от уха к мозгу.

Процессом, противоположным запоминанию, является забывание. Оно биологически целесообразно для человеческого организма. Особенно интенсивно забывание происходит в первое время после заучивания. И хотя бессмысленный материал забывается значительно быстрее (за первые восемь часов после его проработки забывается больше, чем за последующие тридцать дней) связанного по смыслу, эта закономерность является общей.

Основным способом предотвращения забывания служат повторение изученного и включение его в постановку и решение новых задач. Повторение же в неизменном виде путём решения только однотипных задач малоэффективно. Это не значит, что в процессе закрепления следует отказываться от решения однотипных задач. Надобно только не злоупотреблять таким повторением, помня, что для осознания некоторой особенности оптимальное число однотипных упражнений равно трём /241/.

Более эффективно повторение, выступающее как основа для решения разнообразных задач, осуществляемое путём реконструкции нового материала, противопоставления либо сравнения его с ранее известным. При этом различные виды повторения желательно рассредоточивать во времени, не ограничиваясь лишь его использованием сразу же после объяснения нового материала в качестве инструмента для ослабления процессов забывания.

По мере накопления знаний по изучаемой теме (курсу) возникает проблема осмысления и запоминания большого количества информации. В таких случаях предпочтение следует отдавать не рассредоточенному во времени, а концентрированному повторению с выходом на обобщение и систематизацию знаний. Оно подразумевает повторное рассмотрение изученного, его анализ, сравнение, классификацию в целях нахождения и выделения общих связей, приводящих знания в целостную систему. Порой этому посвящается учебное время всего урока, именуемого, как известно, уроком обобщающего повторения.

В частности, В. Ф. Шаталовым /301/ по каждому учебному предмету в течение года проводится от 4 до 6 уроков повторения по листам группового контроля. Приведём примерный перечень вопросов, включённых в лист группового контроля, который использовался после изучения обыкновенных дробей в VI классе.

• 1. Деление нуля и деление на нуль.
• 2. Законы сложения.
• 3. Коэффициент.
• 4. Законы умножения.
• 5. Построение диаграмм.
• 6. Построение графиков.
• 7. Основное свойство дроби.
• 8. Как привести дробь к новому знаменателю?
• 9. Что значит сократить дробь?
• 10. Отношение. Члены отношения.
• 11. Рациональные числа.
• 12. Периодические дроби.
• 13. Чистая периодическая дробь.
• 14. Смешанная периодическая дробь.
• 15. Как обратить чистую периодическую дробь в обыкновенную?
• 16. Как обратить смешанную периодическую дробь в обыкновенную?
• 17. Какие обыкновенные дроби обращаются в десятичные?
• 18. Простые числа.
• 19. Составные числа.
• 20. Что значит разложить число на простые множители?
• 21. Как умножить дробь на дробь?
• 22. Взаимно обратные числа.
• 23. Как разделить дробь на дробь?
• 24. Пропорция.
• 25. Основное свойство пропорции.
• 26. Как найти крайний член пропорции?
• 27. Как найти средний член пропорции?
• 28. Степень.
• 29. Основание степени и показатель степени.
• 30. Как сложить дроби с разными знаменателями?
• 31. Наименьшее общее кратное нескольких чисел.
• 32. Наибольший общий делитель нескольких чисел.
• 33. Как найти наибольший общий делитель нескольких чисел?
• 34. Как найти наименьшее общее кратное нескольких чисел?
• 35. Длина окружности.
• 36. Площадь круга.

Учитель заранее, раздаёт ребятам данные листы, с вопросами, ответы на которые должны, знать все без исключения учащиеся. Они готовятся к ответам в малых группах, многократно проверяя друг друга в обстановке сотрудничества. Формула контроля достаточно строга: если ученик не может ответить на один из предложенных вопросов, то выше тройки, если даже он хорошо ответит на все остальные вопросы, ему не выставляется. Если же такое случается дважды, то дальнейший его опрос прекращается. В конечном счёте, повторяя и воспроизводя основные факты изученного, каждый ученик включается в процесс обобщения и систематизации знаний, что является эффективным средством их упрочения и закрепления.

Как уже отмечалось нами, на запоминание влияют особенности изучаемого материала: чем более осмысленной и значимой для учащегося является информация, тем лучше она запоминается. Однако и память разных людей отличается как преобладанием той или иной модальности (зрительной, слуховой, двигательной), так и уровнем своей организации. В этой связи выделяют различные подходы к организации механизмов усвоения, приобретения, запоминания и вызова из памяти, которые называют «стилями обучения» и «стилями преподавания» (см. например /137/). Отметим некоторые из них:

• — аудиальный — предпочитает учиться посредством восприятия информации на слух;
• — визуальный — учится главным образом посредством зрительного восприятия информации;
• — кинестетический — учится в основном на своём деятельностном опыте;
• — механический — склонен использовать при обучении развитую механическую память;
• — импульсивный — учится чаще всего методом проб и ошибок, отличается быстрой реакцией;
• — рефлексивный — требует времени на усвоение и отработку информации.

Описание стилей обучения и преподавания осуществляется по различным параметрам, в том числе и с учётом доминирования полушарий. Так, индивиды с доминированием правого полушария предпочитают целостные образы (гештальты), синтез, музыку и искусства. Индивиды же с доминирующим левым полушарием предпочитают детали, анализ, словесность и науки.

Зная особенности стилей, можно в каждом конкретном случае облегчить обучение ребёнку. Если это, в частности, учащийся с аудиальным стилем обучения, то благоприятными для него будут такие виды деятельности, как взаимодействие и ролевые игры. Для учащихся с визуальным стилем — работа с бумагой и ручкой, а для учащихся с кинестетическим стилем обучения — шумные помещения и взаимодействие.

С другой стороны, к примеру, несоответствие между стилем обучения учащегося и 1) стилем преподавания учителя, 2) ориентацией учебников и других средств обучения и (или) 3) учебным стилем его одноклассников может привести к «конфликту стилей». В результате, как правило, констатируется неспособность учащегося к усвоению материала, хотя на самом деле причиной тому могут служить не подходящие обучающемуся стили преподавания учителя, авторов учебников либо усреднённый стиль класса.

Очевидно, что типы учебных предпочтений могут иметь пересечения. Поэтому и от умения преподавателя учитывать совокупность учебных стилей каждого из учеников зависит успешное усвоение ими программного материала. Причём, если при изучении нового материала следует пользоваться наиболее предпочитаемыми учащимися стилями обучения, то при его закреплении должны использоваться и менее предпочитаемые ими стили. Другими словами, учащихся приучают к разнообразный стилям обучения лишь после осмысления нового материала. Важная роль при этом отводится организации и проведению различных видов самостоятельных работ. Кстати, один из недостатков в методике проведения самостоятельных работ как раз и состоит в однообразии их видов, используемых учителем.

Под самостоятельной работой учащихся, мы понимаем такую работу, которая выполняется ими по заданию учителя, без его непосредственного участия (но под его руководством) в специально предоставленное для этого время. Для её выполнения учащиеся должны приложить определённые усилия, выражая в той или иной форме результаты своих действий. Трудно переоценить значение самостоятельной работы учащихся, поэтому как без неё невозможен процесс овладения знаниями на различных этапах урока: при изучении нового материала, его закреплении и т. д.

В теории и практике обучения наиболее распространены следующие подходы к классификации самостоятельных работ /24,72,89,196,273 и др./:

• — по дидактическим целям;
• — по уровню самостоятельности учащихся;
• — по степени индивидуализации;
• — по источнику и методу приобретения знаний;
• — по форме выполнения;
• — по месту выполнения.

Самостоятельные работы по своему дидактическому назначению можно разделить на обучающие и контролирующие. К вопросу о контролирующих самостоятельных работах мы вернёмся несколько позднее. Обучающие же работы предназначены для организации самостоятельной деятельности учащихся, ориентированной на усвоение знаний и выработку умений применять их. В этой связи обучающие самостоятельные работы в свою очередь подразделяют на работы по формированию знаний и работы по формированию умений.

Во всех случаях надо стремиться проводить обучающие работы в непринуждённой, деловой обстановке, чтобы ребята приучались вести себя раскрепощённо: не боялись задавать любые вопросы, были бы уверены, что за ошибки их никогда не накажут, а там, где требуется, помогут, покажут, повторно разъяснят непонятое и т. д. При проведении обучающих самостоятельных работ по усмотрению учителя можно воспользоваться и оценкой знаний и умений учащихся, но исключительно для их поощрения и только.

По степени самостоятельности учащихся выделяют:

• — самостоятельные работы по образцу;
• — реконструктивно-вариативные;
• — частично-поисковые (эвристические);
• — исследовательские (творческие) самостоятельные работы.

При выполнении самостоятельных работ по образцу учащиеся не выходят за рамки воспроизводящей деятельности, которая направлена на овладение основными знаниями, умениями, способами работы. Предлагаемые при этом задания выполняются по образцам и алгоритмам показанным учителем или подробно описанным в учебнике. Они играют важную роль при первичном закреплении изученного, ибо способствуют созданию условий для перехода учащихся к выполнению заданий, требующих более высокого уровня самостоятельности. Поэтому учитель должен уметь отбирать, вовремя предъявлять и требовать от учащихся их точного воспроизведения.

Самостоятельные работы реконструктивно-вариативного вида обычно содержат в себе задачи, по условиям которых учащимся приходится анализировать новые для них ситуации, переформулировать их, выбирать из известных способов наиболее рациональные. Они отличаются от работ по образцу тем, что при их выполнении необходимо преобразовать исходные данные, т. е. проявить более высокий уровень самостоятельности.

Так, после прямого использования формулы квадрата двучлена, в реконструктивно-вариативных самостоятельных работах могут быть предложены, в частности, следующие задания на заполнение пропусков:

• (а + …)² = (а² + 4а + 4);
• (а + …)² = (… + 4а + 4);
• (а + …)² = (а² + … + 4);
• (а + …)² = (… + … + 4);
• (а + …)² = (… + 4а +…)

Ещё более высокий уровень самостоятельности учащиеся проявляют при выполнении частично-поисковых (эвристических) работ, требующих переноса знаний и умений в необычные, нестандартные ситуации. Например, при решении следующей задачи, используемой при изучении свойств трапеции: «В равнобедренной трапеции меньшее основание равно боковой стороне, а диагональ перпендикулярна боковой стороне. Найти углы трапеции». В этой нестандартной ситуации в результате целенаправленного поиска осуществляется отбор и перенос именно тех знаний (о свойствах углов, образованных при пересечении параллельных прямых секущей, о свойствах равнобедренного треугольника, о сумме углов треугольника, об углах при основании равнобедренной трапеции), с помощью которых находятся искомые углы, равные 60°, 60^е, 120^е и 120°.

Высшая степень самостоятельности учащихся проявляется при выполнении исследовательских (творческих) самостоятельных работ. Здесь, пользуясь накопленными знаниями и умениями, выдвигая и проверяя собственные гипотезы и суждения, они учатся открывать для себя новые сведения об изучаемых объектах. В содержание такой работы при изучении свойств может быть включена следующая задача: «Каким свойством должна обладать трапеция, чтобы четырёхугольник, образованный отрезками, последовательно соединяющими середины её сторон, был ромбом?» .

При её решении на основании анализа условия задачи учащиеся проявляют элементы творчества: выдвигают и проверяют гипотезу о том, что образованный четырёхугольник является параллелограммом, стороны которого равны половинам диагоналей трапеции. Это и позволяет потребовать того, чтобы данная трапеция была равнобедренной.

Классификация по степени индивидуализации включает общеклассные, групповые и индивидуальные самостоятельные работы. Их проводят, в той или иной мере учитывая индивидуальные особенности каждого ученика, в условиях органического соединения индивидуальной и коллективной деятельности учащихся.

Общеклассные самостоятельные работы бывают фронтальными: когда все учащиеся класса выполняют одни и те же задания. Нередко со всеми учащимися класса проводятся двух и более вариантные самостоятельные работы, идентичные по содержанию. Ныне же всё большее применение получают дифференцированные самостоятельные работы, соответствующие разному уровню подготовленности учащихся одного и того же класса. Обычно в практике обучения, используются до восьми вариантов разноуровневых заданий. Наряду с усложнением содержания дифференциация самостоятельных работ осуществляется и по пути увеличения числа задач, предлагаемых для более подготовленных учащихся. Тем не менее, при реализации каждого из этих подходов приходится преодолевать определённые трудности, связанные как с проверкой большого числа вариантов самостоятельной работы, так и с организацией обсуждения результатов её выполнения.

Решению поставленных проблем способствует /55,138,241 и др./ использование самостоятельных работ, в которых дифференцирована лишь помощь, оказываемая учащимся. Основу такой работы составляют одни и те же задания. Варьируется только система указаний для групп учащихся с различным уровнем подготовленности. Приведём пример различных вариантов подобного задания.

Вариант 1. Не выполняя действий, сравните значения выражений: и 65 337 — 27 937.

Вариант 2. Не выполняя действий, сравните значения выражений: (653−284)37 и 65 337 — 27 937.

Указание. Приведите первое выражение к виду второго и сравните их.

Вариант 3. Не выполняя действий, сравните значения выражений: (653—284)37 и 653−3 727 937.

Указание. Приведите первое выражение у виду второго и сравните каждый член первого выражения с соответствующим ему членом второго.

Вариант 4. Не выполняя действий, сравните значения выражений: (653 — 284)37 и 653−37 279−37.

Указание: 1) раскройте скобки в первом выражении; 2) сравните первые члены обоих выражений; 3) сравните вторые члены выражений; 4) сделайте вывод.

Развитию сотрудничества способствует проведение групповых самостоятельных работ. Для этого класс разбивается на группы по 4−6 учащихся (оптимальным считается состав группы в пять человек). Их возглавляют консультанты (ассистенты), назначаемые учителем или избираемые самими учащимися. Составы групп бывают одинаковыми или смешанными по уровню подготовленности учащихся. Задания же, выполняемые в группах, могут быть как общими, так и дифференцированными.

Индивидуальные самостоятельные работы выполняются отдельными учениками по собственной инициативе либо по заданию учителя. Они чаще всего используются для развития индивидуальных склонностей и способностей учащихся, расширения и углубления знаний у наиболее подготовленных из них, преодоления неуспеваемости или отставания в обучении. Другими словами, при проведении таких работ учитываются индивидуальные особенности и интересы учащихся.

Самые разнообразные виды самостоятельных работ содержит классификация по источнику и методу приобретения знаний. Перечислим наиболее распространённые из них:

• — работа с книгой (учебником, справочной литературой и т. д.);
• — решение и составление задач;
• — лабораторные и практические работы;
• — подготовка докладов, рефератов и т. д.

По форме выполнения различают устные и письменные самостоятельные работы, а по месту выполнения — классные и домашние.

Успешному выполнению учащимися самостоятельной работы способствуют чёткие указания учителя о её цели, содержании, способах выполнения, формах выражения получаемых результатов. Они могут быть представлены, и в виде памяток, в которых даются рекомендации по работе с математическим текстом, решению задач, выполнению лабораторных и практических работ, написанию докладов, рефератов и т. д. Нельзя при этом пускать на самотёк процесс формирования письменной и устной речи учащихся. При выполнении как устных, так и письменных самостоятельных работ учащихся следует систематически приучать полно, ясно, аргументировано излагать свои мысли.

Содержание, форма, продолжительность самостоятельной работы, проводимой в классе, должны отвечать поставленным целям урока. Нередко она занимает лишь несколько минут (например, в V-VI классах, для проведения устного счёта), а порой может длиться в течение всего урока (в частности, в старших классах, при выполнении лабораторных работ). Что же касается домашней самостоятельной работы учащихся, то особенности её организации мы рассмотрим отдельно.