Соответствия, отображения и функции, отношения

Соответствия

Рассмотрим два множествах и У. Элементы этих двух множеств могут каким-либо образом сопоставляться друг с другом, образуя пары (х, у).

Если способ такого сопоставления определен, т. е. для каждого элемента х е X указан элементу е Y, с которым сопоставляется элемент х, то говорят, что между множествами X и У установлено соответствие. При этом совершенно необязательно, чтобы в сопоставлении участвовали все элементы множеств X и У.

Для того чтобы задать соответствие, необходимо указать:

• 1) множество X, элементы которого сопоставляются с элементами другого множества;
• 2) множество У, с элементами которого сопоставляются элементы первого множества;
• 3) множество Q сХх Y, определяющее закон, в соответствии с которым осуществляется соответствие, т. е. перечисляющее все пары (х, у), участвующие в сопоставлении.

Таким образом, соответствие, обозначаемое q, представляет собой тройку множеств.

в которой QqXxY.

В этом выражении первая компонента X называется областью отправления соответствия, вторая компонента Y называется областью прибытия соответствия, третья компонента Q называется графиком соответствия.

Кроме трех рассмотренных множеств X, Y и Q, с каждым соответствием неразрывно связаны еще два множества. Это множество Пр называемое областью определения соответствия, в которое входят элементы множества X, участвующие в сопоставлении, и множество Пр₂Q, называемое областью значений соответствия, в которое входят элементы множества Y, участвующие в сопоставлении.

Очевидно, что область определения соответствия и область значений соответствия являются подмножествами соответственной и Y, т. е. npjQ с X; Пр₂0, с У.

Если (х, у) е Q, то говорят, что элемент у соответствует элементу х. Графически это наглядно изображается стрелкой, направленной отх ку.

Пример 1.27.

Пусть X = {1, 2}, Y = {3, 5}. Сколько различных графиков соответствия можно составить? Привести и графически проиллюстрировать некоторые из них.

Решение. Ясно, чтоХх Y= {(1,3), (1,5), (2,3), (2, 5)}. Следовательно, число возможных графиков соответствия равно числу различных способов, которыми мы можем выбрать одну или несколько пар из X х У или не выбрать ни одной.

Последнее можно сделать только одним способом, а выбрать одну пару из четырех — четырьмя способами. Чтобы найти, сколькими способами можно выбрать две пары из четырех, применим следующее рассуждение. Сначала можно выбрать одну пару четырьмя способами, а для каждого из этих способов подсоединить вторую пару можно тремя способами. Всего получается 4×3 = 12.

Так как неважно, какую пару из двух выбранных выбираем первой, число различных способов в два раза меньше, т. е. 6. Выбрать три пары из четырех (т.е. отбросить одну лишнюю пару) можно четырьмя способами, а четыре из четырех — одним. Это дает возможность получить 1+4 + 6 + 4+1 = = 16 различных графиков соответствия. Приведем некоторые из них:

Пример 1.28.

Даны множества А = {1, 9,15, 23} и В = {2, 7,16}. Составить график Q соответствия q = (А, В, Q), если известно, что четные элементы В соответствуют элементам, делящимся на 3 из А.

Решение. График соответствия имеет вид: Q = {(9, 2), (9, 16), (15, 2), (15,16)}.

Для каждого соответствия.

существует обратное соответствие, которое получается, если данное соответствие рассматривать в обратном направлении, т. е. определять элементы х е X, с которыми сопоставляются элементы у е Y. Соответствие, обратное соответствию q, будем обозначать.

где Q" ¹ сУхХ Пример 1.29.

В условии предыдущего примера найти график Q-1 обратного соответствия q-1 = (В, Л, Q-1).

Решение. Q" ¹ = {(2, 9), (2,15), (16, 9), (16,15)}. ?

Ясно, что графическое представление обратного соответствия получается путем изменения направления стрелок в графическом представлении прямого соответствия. Очевидно также, что обратным соответствием обратного соответствия будет прямое соответствие (q^-1)^-1 = q.