Система уравнений электрической цепи для мгновенных значений токов и напряжений

На основе законов Ома и Кирхгофа можно сформировать систему уравнений, связывающих между собой мгновенные значения токов и напряжений. Для этого необходимо выполнить следующие действия (рассмотрим их на примере цепи рис. 1.29).

Рис. 1.29.

• · Определяются узлы цепи (в схеме рис. 1.29 их число равно) и выбираются независимые контуры, их количество равно, где — число ветвей цепи, не содержащих идеальные источники тока (в примере и).
• · Для каждой ветви и каждого элемента цепи записываются уравнения закона Ома (табл. 1.1). Для схемы на рис. 1.29 получим

(1.43).

Уравнения связи между током и напряжением в элементах или ветвях цепи называют подсистемой компонентных уравнений. Число уравнений равно количеству пассивных элементов или ветвей цепи. Как видно, в состав подсистемы входят дифференциальные или интегральные соотношения между токами и напряжениями.

· Для каждого из узлов составляются уравнения первого закона Кирхгофа (один из узлов не используется).

В рассматриваемом примере для узлов 1, 2 и 3 эти уравнения имеют вид, например, (1.32).

(1.44).

Всего формируется уравнений.

В цепи выбирается независимых контуров, для которых составляются уравнения второго закона Кирхгофа.

В схеме на рис. 1.29 выбранные три независимых контура отмечены круговыми линиями со стрелкой, указывающей положительное направление обхода.

Для них уравнения второго закона Кирхгофа имеют вид (1.34).

(1.45).

Общее количество уравнений равно .

Уравнения, сформированные по первому и второму законам Кирхгофа, называют подсистемой топологических уравнений, так как они определяются схемой (топологией) цепи. Общее количество уравнений в ней равно числу ветвей, не содержащих идеальные источники тока.

Совокупность подсистем компонентных и топологических уравнений образуют полную систему уравнений электрической цепи для мгновенных значений токов и напряжений, которая является полной моделью цепи.

Из компонентных уравнений нетрудно выразить все напряжения через токи ветвей, тогда для цепи на рис. 1.29 из (1.43) получим.

(1.46).

(1.46').

Подставляя (1.46) в уравнения второго закона Кирхгофа вида (1.45), получим систему уравнений для токов ветвей.

(1.47).

Рассмотренный подход к формированию уравнений электрического равновесия цепи называют методом токов ветвей. Количество полученных уравнений равно числу ветвей цепи, не содержащих идеальные источники тока.

Как видно, модель линейной цепи для мгновенных значений токов и напряжений вида (1.43), (1.44), (1.45) или (1.47) является линейной системой интегро-дифференциальных уравнений.