Дифференциальные линейные уравнения л-го порядка с постоянными коэффициентами

Рассмотрим частный случай уравнения (19.38). Уравнение вида.

где a_v а₂, …" а_п — постоянные величины, называется дифференциальным уравнением с постоянными коэффициентами. Такие уравнения широко используются в математике и в ее различных приложениях.

Рассмотрим соответствующее однородное уравнение.

Пусть функция у — е**, где к — постоянное число, является решением уравнения (19.46); подставляя ее в это уравнение, получаем:

Сокращая обе части на е**, получаем характеристическое уравнение однородного дифференциального уравнения л-ro порядка:

Это алгебраическое уравнение л-го порядка по к, его корни соответствуют линейно независимым решениям вида е** однородного уравнения (19.46).

Разные случаи корней характеристического уравнения (19.47) соответствуют разным видам линейно независимых решений фундаментальной системы. По аналогии с теоремой 19.6 (см. п. 19.2.1) можно указать четыре основных случая.

1. Уравнение (19.47) имеет л разных вещественных корней к_г к₂, …, к_п тогда общее решение уравнения (19.46) имеет вид:

где С, С₂, …" С_п — произвольные постоянные.

2. Уравнение (19.47) имеет кратные вещественные корни. Тогда каждому кратному корню в фундаментальной системе (19.41), а значит, и в общем решении (19.43), соответствует набор решений вида:

где г — кратность корня k_s.

3. Простым комплексно-сопряженным корням вида к = а ± Ы, где а и b — действительные числа, соответствуют решения вида:

входящие в общее решение однородного уравнения (19.46), где С, и С₂ — произвольные постоянные.

4. Наконец, комплексно-сопряженным корням кратности г соответствуют решения вида:

Общее решение неоднородного дифференциального линейного уравнения л-го порядка с постоянными коэффициентами может быть найдено согласно формуле (19.44) как сумма любого частного решения этого уравнения и общего решения однородного уравнения с постоянными коэффициентами.

Пример 14. у'"  — 6у" + 11 у' - 6у = 0.

Решение. Характеристическое уравнение для этого случая имеет вид:

Нетрудно видеть, что корни этого уравнения = 1, к₂ = 2, к_у = 3. Следовательно, общее решение данного дифференциального уравнения:

где С, С₂, С_у — произвольные постоянные.

Пример 15. /⁴⁾ — 2у" ' + 5/' - 8у' + 4у = 0.

Решение. Соответствующее характеристическое уравнение имеет вид:

Решая его, находим: к_{— к₂= 1, к_{3 4} = ±2/. Следовательно, согласно п. 2 и 3 общее решение данного уравнения четвертого порядка выражается формулой.

где С, С₂, С_у С₄ — произвольные постоянные.

Пример 16. у'"  — 2у' — 4у = 3.

Решение. В данном случае мы имеем неоднородное уравнение. Нетрудно видеть, что одно из его частных решений Y = -¾. Составим характеристическое уравнение:

Решая, находим его корни: к_] — 2, к^ ₃ = -I ± /. Отсюда общее решение исходного неоднородного уравнения имеет вид:

где Ср С₂, С₃ — произвольные постоянные.

В заключение отметим, что при решении системы п дифференциальных уравнений первого порядка с постоянными коэффициентами се обычно сводят к дифференциальному уравнению п-го порядка с постоянными коэффициентами; затем уже применяют указанный аппарат получения решения, после чего по исходным уравнениям системы пересчитывают результат в исходные искомые функции. Покажем это для случая системы двух линейных неоднородных уравнений.

Пусть дана система линейных дифференциальных уравнений с двумя неизвестными функциями у (х) и г (х):

где а, Р, у и 8 — заданные числа, Дх) и g (x) — известные функции. Дифференцируя первое уравнение этой системы, получаем:

Выразим z из первого уравнения:

Затем подставим в уравнение (19.53) выражение для z' из второго уравнения системы (19.52) и формулу для z из уравнения (19.54). После приведения подобных получаем линейное неоднородное уравнение второго порядка для функции К*): где F{x) = pg (x) — б/(х) + /'(х) — известная функция в правой части. Решая известными методами уравнение (19.55), затем по формуле (19.54) находим функцию г (х).

Пример 17. Найти общее решение системы линейных дифференциальных уравнений.

Решение. В нашем случае постоянные коэффициенты а, Р, у и б равны соответственно -1, 1, 4 и -1 ,/(х) н 0, g (x) = -sin х. Из (19.54) получаем формулу для z:

затем по (19.55) получаем уравнение для у:

Решение соответствующего однородного уравнения имеет вид:

где С, и С2 ~ произвольные постоянные. Частное решение неоднородного уравнения ищется в виде У = A cos х + В sin х; после подстановки его в уравнение и приведения подобных, получаем:

Приравнивая коэффициенты отдельно при cos х и sin х в обеих частях этого уравнения, получаем систему уравнений для А и В

откуда А — 0,1, В = 0,2. Таким образом, окончательно получаем решение исходной системы уравнений: