Нелинейная регрессия. 
Основы регрессионного анализа

Если между экономическими явлениями существуют нелинейные соотношения, то они выражаются с помощью соответствующих нелинейных функций. Различают два класса нелинейных регрессий:

• — регрессии, нелинейные относительно включенных в анализ объясняющих переменных, но линейные по оцениваемым параметрам;
• — регрессии, нелинейные по оцениваемым параметрам.

Примером нелинейной регрессии по включаемым в нее объясняющим переменным могут служить следующие функции:

— полиномы разных степеней.

, …

• (анализ издержек от объема выпуска);
• — равносторонняя гипербола —

(зависимость между объемом выпуска и средними фиксированными издержками, между доходом и спросом на блага, между уровнем безработицы и процентным изменением заработной платы).

К нелинейным регрессиям по оцениваемым параметрам относятся функции:

— степенная ;

• (зависимость между расходами и прибылью);
• — показательная —

(производственная функция Кобба-Дугласа);

— экспоненциальная ;

(при анализе изменений переменной с постоянным темпом прироста) Нелинейные регрессии по включаемым переменным позволяют использовать МНК для оценки параметров, так как эти функции линейны по параметрам.

Рассмотрим параболу.

.

Введем замену:

. Получим:

— уравнение множественной линейной регрессии. Парабола 2-й степени целесообразна к применению. Если для определенного интервала значений фактора меняется характер связи признаков: прямая связь меняется на обратную или наоборот. Кривая, для которой b > 0, c < 0 используется при изучении зависимости з/п работников физического труда от возраста. При b 0 — зависимость затрат на производство от объема выпуска. Часто можно использовать лишь сегмент параболы.

Аналогично линеаризуются полиномы любой степени. Ограничения в использовании полиномов более высоких степеней связаны с требованием однородности исследуемой совокупности: чем выше порядок полинома, тем больше изгибов имеет кривая и, соответственно, менее однородна совокупность по результативному признаку.

Равносторонняя гипербола.

может быть использована для характеристики связи удельных расходов сырья, материалов, топлива с объемами выпускаемой продукции, временем обращения товаров от величины товарооборота. Классическим примером является кривая Филлипса, характеризующая соотношение между нормой безработицы х и процентом прироста з/п у. После замены.

z = 1/x получим.

— уравнение парной линейной регрессии. При b > 0 — кривая Филипса, при b < 0, кривая Энгеля, характеризующая связь доли расходов на товары длительного пользования и общих сумм расходов (или доходов).

Аналогично линеаризуются и другие нелинейные по переменным функции.

Замечание. Если зависимость между х и у нелинейна, а её представили линейной зависимостью, то:

• — по графику уравнения регрессии (для парной) и точкам корреляционного поля можно определить необходимость нелинейного описания зависимости;
• — в случае множественной регрессии можно проанализировать остатки регрессии. Обычно они должны чередоваться «+» и «-», большие и малые. При нелинейной зависимости нет случайного чередования остатков.

Класс функций, нелинейных по параметрам, в свою очередь, делится на два типа:

• — нелинейные модели внутренне линейные;
• — нелинейные модели внутренне нелинейные.

Внутренне линейные модели могут быть приведены к линейному виду.

Например.

1) — внутренне линейна, так как.

— линейна по параметрам;

2) — внутренне нелинейна;

• 3) — внутренне нелинейна;
• 4) — внутренне линейна, так как

;

5) — внутренне линейна, так как ;

5) — логистическая функция — внутренне линейна.

;; .

Замечание: чтобы получить аддитивный случайный член в уравнении регрессии, необходимо в исходной модели иметь мультипликативную случайную составляющую. Чтобы tи Fкритерии были применимы, необходимо, чтобы преобразованный случайный член имел нормальное распределение, т. е. исходный — логарифмически нормальное распределение.

().

Внутренне нелинейные модели не могут быть приведены к линейному виду, и для оценки их параметров используют итеративные процедуры.

Итеративные процедуры используют принцип минимизации суммы квадратов остатков и включают следующие шаги:

1. Принимаются некоторые правдоподобные значения параметров.

2. Вычисляются по фактическим х.

• 3. Определяются и .
• 4. Вносятся небольшие изменения в оценки параметров.

5. Вычисляются новые, , .

• 6. Если < S, то новые оценки лучше, их следует использовать в качестве новой отправной точки.
• 7. Шаги 4, 5, 6 повторяются до тех пор, пока окажется невозможным внести изменения, уменьшающие S.
• 8. Делается вывод о минимизации S, и последние оценки принимаются за оценки параметров. Недостаток — медленное оценивание, однако в последнее время разработаны различные математические процедуры, позволяющие быстро находить приемлемое требуемое решение.