Предельные множества траекторий

Определение. Точка называетсяпредельной точкой траектории, , если существует последовательность такая, что при. Множество всехпредельных точек траектории называется еепредельным множеством. Аналогично для траектории при определяется понятиепредельной точки как предела, а такжепредельного множества.

Определение. Траектория называется положительно (отрицательно) устойчивой по Лагранжу (обозн. ()), если существует компакт такой, что при всех (), при которых определена. Иными словами, если траектория всегда остается в некоторой ограниченной области фазового пространства.

Можно показать, что предельное множество устойчивой по Лагранжу траектории не пусто, компактно и связно.

Траектория называется устойчивой по Пуассону, если каждая ее точка являетсяпредельной ипредельной, т. е.. Примером устойчивой по Пуассону траектории является состояние равновесия. Если же рассматривается траектория, отличная от неподвижной точки, то устойчивой по Пуассону она будет в том случае, если обладает свойством возвращаться в сколь угодно малую окрестность каждой своей точки бесконечное число раз. Поэтому устойчивыми по Пуассону будут циклы и квазипериодические траектории (суперпозиция двух периодических колебаний с несоизмеримыми частотами), а также более сложные траектории, возникающие в хаотических системах.

Рассмотрим (без доказательств) некоторые свойства предельных множеств в случае n = 2.

• 1. Предельные множества траекторий автономных систем состоят из целых траекторий.
• 2. Если траектория содержит по крайней мере одну свою предельную точку, то эта траектория замкнутая или представляет собой точку покоя.
• 3. Если траектория остается в конечной замкнутой области, не содержащей точек покоя системы, то она либо является циклом, либо спиралевидно приближается при к некоторому циклу.
• 4. Пусть в некоторой окрестности замкнутой траектории нет других замкнутых траекторий. Тогда все траектории, начинающиеся достаточно близко от, спиралевидно приближаются к при или при .

Пример. Рассмотрим автономную систему при :

Для исследования системы удобно в фазовой плоскости ввести полярные координаты. Тогда получаем следующие уравнения для определения :

откуда получаем .

Первое из этих уравнений легко интегрируется. Оно имеет решения и. При решения монотонно убывают от до 0, а при решения монотонно возрастают от до бесконечности. Так как, то отсюда следует, что при и все траектории системы образуют спирали, раскручивающиеся от окружности к бесконечно удаленной точке или к началу координат при неограниченном возрастании полярного угла. Начало координат является положением равновесия и одновременнопредельным множеством для всех траекторий, у которых. Если, топредельное множество траектории пусто. Окружность является замкнутой траекторией и одновременнопредельным множеством для всех траекторий, отличных от положения равновесия.