Лекция 9. Сплайн-интерполяция

ЦЕЛЬ ЛЕКЦИИ: Показать ограничения полиномиальной интерполяции, ввести понятие m-сплайна, построить вычислительную схему интерполяции на основе кубического сплайна.

Ограничения многочленной интерполяции

Многочленная интерполяционная функция очень чувствительна к выбору узлов интерполяции.

Рассмотрим интерполяционную формулу Лагранжа.

.

где.

.

Оценим норму функции, которую определим, как.

.

С этой целью выполним очевидные преобразования:

.

Введем функцию Лебега:

.

Поскольку, получаем оценку:

.

Величина нормы функции зависит от распределения узлов интерполяции. Рассмотрим два случая.

Случай 1. Узлы интерполяции на отрезке распределены равномерно. В этом случае (доказательство опускаем). При увеличении n многочлен может полностью оказаться непригодным для аппроксимации, т. к. неограниченно возрастает.

Рассмотрим такой пример. Будем интерполировать функцию.

полиномом n-го порядка, выбирая узлы интерполяции равномерно распределенными. Введем норму ошибки интерполяции:

и исследуем ее зависимость от порядка интерполирующего полинома. Для этого обратимся к численным результатам (см. табл.11.1).

Таблица.

Видно, что с увеличением погрешность интерполяции уменьшается вплоть до. Дальнейшее увеличение порядка полинома приводит к возрастанию .

Случай 2. Узлы интерполяции являются нулями полинома Чебышева. Их нетрудно получить, если на отрезке построить полуокружность, разделить ее на равные части и спроектировать на отрезок середину каждой из них (рис. 11.1). В этом случае (доказательство опускаем). Обратимся к рассмотренному выше примеру (см. табл.11.2) Погрешность интерполяции теперь при возрастании порядка полинома монотонно падает.

Рис. Расположение нулей полинома Чебышева

Таблица.

Многочленная интерполяция в точках Чебышева позволяет увеличивать точность приближения функции посредством увеличения порядка полинома. Однако привлекать узлы Чебышева не всегда удается. (Например, в узле Чебышева функция имеет особенность.) Чтобы избежать зависимости точности аппроксимации от локальных свойств функции, переходят к кусочно-полиномиальной аппроксимации.

Сплайн-интерполяция.

Назовем m-сплайнами полиномы невысокого порядка m, которыми аппроксимируется функция на интервалах и которые сшиваются в узлах интерполяции на основе требования непрерывности интерполирующей функции и ее первых производных.

Рассмотрим наиболее широко используемую на практике кубическую сплайн-интерполяцию. В ней искомая функция на интервале аппроксимируется полиномом третьей степени Аналогичные полиномы можно записать для всех n интервалов, т. е. соотношение (11.1) справедливо для .

Условия сшивки сплайнов в узлах интерполяции:

.

.

.

Кроме того, необходимо задать граничные условия в точках и. Это можно сделать несколькими способами. Здесь будем считать, что.

,

т. е. будем рассматривать интерполяцию так называемыми естественными сплайнами.

Условие приводит к уравнениям:

Получили уравнений относительно неизвестных , .

Вычислим производные:

Построим уравнения, к которым приводит условие непрерывности первой производной в узлах. При кубической сплайн-интерполяции выражения для первой производной на соседних интервалах интерполирования имеют вид.

Требование непрерывности первой производной в узлах (условие 11.3) приводит к уравнениям.

.

В свою очередь, непрерывность второй производной в этих же узлах (условие (11.4)) позволяет записать.

.

.

Наконец, из граничных условий, получим, что.

.

Соотношения (11.5), (11.6), (11.7), (11.8) составляют систему линейных алгебраических уравнений, всего уравнений, относительно неизвестных.

Построим эффективный метод решения этой системы. Выразим из (11.7) :

.

и подставим в:

.

Учтем, что.

:

.

Выразим из этого соотношения :

.

Подставим теперь в формулу:

Выполним очевидные преобразования и запишем результирующую систему в виде:

Получили систему линейных алгебраических уравнений относительно неизвестных. Однако, если учесть, что из граничных условий.

.

то приходим к системе линейных алгебраических уравнений с треугольной симметрической матрицей.

Обратите внимание: матрица системы обладает диагональным преобладанием! Эту систему можно эффективно решать методомфакторизации.

Вычислив коэффициенты, из соотношений (11.9) находим.

.

Из условия определяем :

Коэффициенты рассчитаем из :

так как. Коэффициенты , известны из (11.5). В результате для всех кубических сплайнов определены коэффициенты .

Расчет значений функции методом сплайн-интерполяции осуществляется следующим образом:

По описанной выше методике вычисляются коэффициенты кубических сплайнов;

Находится интервал, которому принадлежит данное. Значение функции на этом интервале вычисляется из кубического сплайна с параметрами для интервала .