Тестовый расчет приведенной скорости при установившемся течении газа в канале с учетом трения о стенки

Рассматривается стационарное квазиодномерное течение сжимаемого совершенного газа с учетом трения газа о стенки канала. Известно (см. [47], [243], [1]) решение задачи о распределении приведенной скорости к = V/V_Kp, где V_Kp — критическая скорость, по длине канала в случае неизменного по длине трубы коэффициента гидравлического сопротивления трения ?*. Оно определяется уравнением.

где R_g — гидравлический радиус; L — длина канала. Рассматривается задача об установлении течения в канале, соединяющем два сосуда с заданными постоянными параметрами, сформулированная в параграфе 7.4.2. При задании в сосудах S2 и S3 критического перепада давлений при условии формулирования на входе в канал стационарных граничных условий на базе формул стационарного изэнтропического течения совершенного газа, распределение приведенной скорости к по длине канала в установившемся режиме должно подчиняться уравнению (7.7), причем на выходе из канала должен реализовываться критический режим течения к = 1, а на входе — докритический к < 1. Данная задача позволяет не только проверить физическую правильность учета влияния трения о стенки канала используемой разностной схемой, но и оценить точность получаемого после установления сеточного решения, сравнивая его с решением, определяемым уравнением (7.7). С указанной целью для канала длиной L = 1,0 м и гидравлическим радиусом R_g = 0,03 м с постоянным коэффициентом гидравлического сопротивления трения = 0,001 проведен расчет установления течения между сосудами с параметрами в сосуде-источнике S2P = 130,0 • 10⁵ Па, Т = = 2800 К, и в сосуде-стоке S3 Р = 45,0 • 10⁵ Па, Г = 2800 К. Газ в канале в начальный момент покоился и имел температуру и давление такие же, как в сосуде S3. Теплофизические свойства те же, что и в параграфе 7.4.2. При расчете сеточного решения рассчитывалась приведенная скорость делением скорости потока на критическую скорость.

где Т₀—температура торможения, равная температуре в сосуде S2. Точное распределение приведенной скорости по длине канала получалось решением уравнения (7.7) методом итераций Ньютона от начального приближения, равного 0,5. Точность сходимости итераций контролировалась по относительной погрешности двух последовательных итераций решения, которая задавалась равной 0,0001. На рис. 7.30 изображен расчитанный процесс установления приведенной скорости по длине канала с течением времени. Там же приведена кривая точного решения в установившемся режиме. На рис. 7.31 изображены приближенное решение, полученное после расчета 8000 шагов по времени, и точное решение, а также отклонение и среднеквадратическое отклонение приближенного решения от точного. Проделанный расчет показывает, что на достаточно грубой продольной сетке, включающей 40 равномерно распределенных фиксированных узлов, точность расчета установившегося решения после 8000 шагов по времени с числом Куранта, равным 0,5, укладывается в отклонение приближенного решения от точного в пределах 5% от максимального значения точного решения, а среднеквадратическое отклонение составляет 3%.

Рис. 7.30. Изменение приведенной скорости L в канале при установлении критического течения (7—9), точное решение (70).

Рис. 7.31. Точное (7) и приближенное (2) решения для приведенной скорости L, отклонение D, среднеквадратическое отклонение D2:

О — отклонение; D2 — среднеквадратическое отклонение