Постановка задачи. 
Уравнение Дуффинга (аттрактор Холмса)

Пусть дан объект или процесс физической, химической или биологической природы, описывающийся уравнением Дуффинга. Примером таких процессов могут служить движение частицы в плазме, дефект в твёрдом теле или динамика продольного изгиба балки.

В этом случае уравнение движения будет иметь вид:

.(1).

Цель работы: провести исследование поведения системы при ?=0,15; ?=0,8 и 0,1 f 0,3.

Данная область представляет интерес для исследования, т.к. в ней происходит смена режима движения от периодического к хаотическому.

Реализация

Для того чтобы исследовать систему, необходимо решить ее дифференциальное уравнение движение. Аналитически решить такое уравнение невозможно. Преобразуем уравнение так, чтобы его можно было решить известными нам численными методами.

В уравнении (1) сделаем замену:

(2).

тогда получим следующую систему уравнений:

.(3).

Мы получили систему обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ). Систему такого типа можно решать различными численными методами.

В данной работе использовался метод Рунге-Кутта четвертого порядка. Его формула в векторной форме представлена ниже:

(4).

Где h — шаг сетки.

Систему (3) можно записать в виде автономной системы третьего порядка, если ввести. Тогда система примет вид:

.(5).

Решая задачу Коши численным методом, зафиксируем параметры и. Параметр f будем варьировать в пределах от 0,1 до 0,3.

Разумно предположить, что, т.к. мы решаем задачу Коши, необходимо состояние системы при начальном времени. Но задача, поставленная исследованием, не ограничивает нас в выборе начальных условий.

Таким образом, исследование заключается в многократном решении задачи Коши, произвольно выбирая начальные условия и границы интервала и варьируя в заданных пределах параметр f.