Метод идеальной точки

Пусть на плоскости (х, у) задано множество щ (рис. 4) и в каждой точке этого множества определены две непрерывные функции.

U = Ф (х, у) и V = ш (х, у).

Рассмотрим следующую задачу.

Во множестве щ найти точку (х_*, у_*), в которой.

и.

Обычно это записывается так.

Ф (х, у) > max и ш (х, у) > max

В общем случае поставленная задача решения не имеет. В самом деле, нарисуем на плоскости (U, V) все точки, координаты которых вычисляются по формулам.

U = Ф (х, у) и V = ш (х, у),.

Из рис. 5 видно, что наибольшее значение U — U_max — и наибольше значение V — V_max — достигаются в разных точках, а точка с координатами.

(U_max, V_max).

лежит вне множества Щ.

Тем самым, в исходной постановке задача, вообще говоря, неразрешима — удовлетворить обоим требованиями одновременно невозможно. И, следовательно, нужно искать компромиссное решение.

Опишем один из путей, использующий множество Парето.

Рис. 5 Рис. 6

Сначала на плоскости (U, V) задается целевая точка, в качеств координат которой часто выбирается сочетание наилучших значений обоих критериев U и V.

В данном случае это точка (U_max, V_max).

Вследствие того, что обычно такая точка при заданных ограничениях не реализуется, ее называют точкой утопии.

Затем строится множество Парето и на нем ищется точка, ближайшая к точке утопии — идеальная точка (рис. 6).