Регуляризация обратных задач, где вырождается уравнение Вольтерра первого рода с особым решением

Многие ученые исследовали отдельные вопросы теории интегральных уравнений первого рода, связанные с обратными задачами математической физики [1; 2; 4; 5; 6; 9; 11; 12]. Весомое место в исследованиях занимают обратные задачи, где особое решение имеет уравнение первого рода [3; 8; 10]. Поэтому, в настоящей работе изучена обратная задача, где вырождается условно-корректное интегральное уравнение Вольтерра первого рода в [8]: .

Пусть дана нагруженная обратная задача Гурса [7].

где неизвестными функциями являются, а.

заданные функции, причем.

I. Пусть новая функция определяется по правилу.

Тогда из (5) следует.

Поэтому, учитывая (5) и (6) из (1) получим уравнение Следовательно, имеем.

Уравнение (8) содержит две неизвестные функции, поэтому на основе (3) из (8) следует.

Значит, (8) преобразуется к виду.

где (11) является уравнением типа Вольтерра второго рода по переменной. Поэтому при выполнении условий.

оператор допускает выполнение принципа Банаха, а это возможно, так как малая функция. Тогда уравнение (11) разрешимо в пространстве. Следовательно, решение уравнение (11) построим на основе метода Пикара:

.

— нулевое приближение, которое может быть выбрано произвольно из. При этом на основе выводов метода Пикара получим, что последовательность функции сходится к решению уравнения (11) в смысле, так как.

Из полученных результатов следует, что функция определяется единственным образом на основе (6) в пространстве .

Замечание 1. Если была бы известная функция, то следовало бы, что (1), (2) есть прямая задача Гурса. Тогда это задача была бы корректно поставленная в пространстве .

Замечание 2. Пусть неизвестная функция в обычном смысле. Тогда (1), (2), (3) — обратная задача Гурса. В этом случае, функцию определили бы из уравнения (10), т. е.

После выводов (14), на основе (6) получим единственную функцию. Следовательно, правая часть уравнения из (10)* - известная функция, в силу этих выводов определим функцию по правилу.

А это означает что обратная задача Гурса (1) — (3) корректно поставлена в пространстве, (здесь не учитывается (4)).

Замечание 3. В нашем случае функция задается в виде (4). Поэтому задача (1) — (4) называется обратной задачи типа Гурса с интегральной зависимостью. Причем в интегральной части (4) содержится неизвестная функция, гдеспециальное пространство [3], содержащее все элементы, а также обобщенные функции, сосредоточенные в начале координат по x с условием, если есть пробная функция g (0)=0, то=0.

А это означает, что обратная задача (1) — (4) может быть не устойчивой в этом классе за счет функции, хотя функция определяется единственным образом в .

Утверждение 1. Так как, то на основе теоремы вложения К. Фридрихса [13] функция оценима в, (обратно нет).

II. В этом пункте, для изучения регуляризируемости обратной задачи (1) — (4) введем множество вида и в этом множестве докажем условную устойчивость изучаемой задачи. С этой целью, сначала рассмотрим регуляризируемости уравнения Вольтерра первого рода вида (см. (10)):

Тогда (16) преобразуем к виду.

Введем возмущенную систему.

и решение будем представлять в виде.

где: (0,1)э е — малый параметр. Следовательно, имеем Пусть R (x, s, е) — резольвента ядра (), причем.

Отметим, что уравнения.

имеет решение в классе непрерывных функций, причем регуляризируемо в этом классе [8; 9], т. е., когда имеют место. интегральный зависимость уравнение вольтерр

Поэтому, нет необходимости повторять результаты работ [8; 9].

Далее, относительно функции из (21) следует.

Значит, главным фактором изучения системы (21) остается функция. Для этого, на основе (22), (21) получим.

Введем обозначение:

Тогда оценивая (26) и учитывая.

Правая часть неравенства (29) стремится к нулю при е>0 равномерно на [0,b] и функция определяется единственным образом в .

Поэтому, из полученных результатов следует, что уравнение (19) имеет единственное решение, представимое в виде (20), причем это решение при е>0 сходится к на :

При е>0 правая часть стремится к нулю, когда x, следовательно.

а при x=0:

Замечание 4. Из неравенства (30) видно, что если x, то при е>0, и эта сходимость считается неравномерной, так как в случае x=0 имеет особенность вида.

.

Поэтому регуляризирующие системы дают приближенное решение уравнения (19) в смысле .

Утверждение 2. Если, то.

Отметим, что для регуляризируемости задачи (1)-(4) ввели. В условиях утверждения 1 имеем, что функция V (x, t) решение (11) и U (x, 0) можем определить из (4), с учетом (10), т. е.

при этом существуют.

Поэтому требуя:

получим:

где:

.

достаточно малые величины,.

Теорема 1. При условиях утверждений 1, 2 и формулы (33) обратная задача (1) — (4) регуляризируема вв обобщенном смысле.

Заключение

В настоящей работе была изучена обратная задача с интегральной зависимостью, где вырождается условно-корректное уравнение Вольтерра первого рода. На основе метода регуляризации доказана единственность и условная устойчивость решения обратной задачи в в обобщенном смысле. Полученные результаты могут применяться и к задачам более сложной структуры, которые встречаются в теории математической физики.

• 1. Апарцин А. С. Неклассические уравнения Вольтерра первого рода: теория и численные методы. — Новосибирск: Наука. Сиб. изд. фирма РАН, — 1999. — 193 с.
• 2. Бухгейм А. Л. Уравнение Вольтерра и обратные задачи. — Новосибирск, 1983. — 207 с.
• 3. Иманалиев М. И. Обобщенные решения интегральных уравнений первого рода. — Фрунзе: Илим, 1981. — 144 с.
• 4. Иванов В. К. О некорректно поставленных задачах // Математический сборник. — 1963. — Т. 61, № 2. — С. 211−223.
• 5. Лаврентьев М. М. Об интегральных уравнениях первого рода // Доклады АН СССР — 1959. — Т. 127, № 1. — С. 31−33.
• 6. Магницкий Н. А. О приближенном решении некоторых интегральных уравнений Вольтерра первого рода // Вестник МГУ. Вычисл. мат и киберн. — 1978. — № 1. — С. 91−96.
• 7. Нахушев А. М. Краевые задачи для нагруженных интегро-дифференциальных уравнений гиперболического типа и некоторые их приложения к прогнозу почвенной влаги // Дифференциальные уравнения. — 1979. — Т. 9, № 1. — C. 96−105.
• 8. Омуров Т. Д. Методы регуляризации интегральных уравнений Вольтерра первого и третьего рода. — Бишкек: Илим, 2003. — 162 с.
• 9. Омуров Т. Д., Рыспаев А. О., Омуров М. Т. Обратные задачи в приложениях математической физики. — КНУ им. Ж. Баласагына. — Б.: 2014. -192 с.
• 10. Сергеев В. О. Регуляризация уравнений Вольтерра первого рода // Доклады АН СССР. — 1971. — Т. 197, № 3. — С. 531−534.
• 11. Тихонов А. Н., Арсенин В. Я. Методы решения некорректных задач. — М.: Наука, — 1986. -287 с.
• 12. Тихонов А. Н., Гончарский А. В, Степанов В. В. Обратные задачи обработки фотоизображений // Некорректные задачи естествознания. — Сборник научных трудов. — М.: изд.-во Моск. ун-та, 1987. — С. 185−195.
• 13. Треногин В. А. Функциональный анализ. — Москва: Наука, 1980. — 496 с.