Пример нахождения «особых» точек плоских кривых

Способы нахождения «особых» точек мало исследованы в учебной и научной литературе. Поэтому поставим целями: 1. Классифицировать «особые» точки. 2. Разработать алгоритм нахождения «особых» точек плоских кривых заданных параметрическими уравнениями и определения видов «особых» точек.

Пусть даны линия и на ней точка M. Точка М называется обыкновенной точкой линии если существует такое число, что пересечение линии сокрестностью точки М, то есть фигура, является элементарной линией. На рисунок 6 1 М — обыкновенная точка.

Точка называется особой (топологически особой), если она не является обыкновенной. На рисунок 7 — особая точка. [6].

Рассмотрим классификацию особых точек. Пусть дано уравнение линии .

Находим корни уравнения. Пусть t = t0 — один из таких корней. Если.

и если:

При всех остальных значениях t будем иметь.

;

все точки линии, соответствующие значениям t, при которых не обращается в нуль — обыкновенные (= 1, s = 2). [2].

Разработаем алгоритм нахождения «особых» точек плоских кривых, заданных параметрическими уравнениями.

Пусть плоская кривая задана параметрическими уравнениями.

Найдем — первую производную по параметру .

Найдем — вторую производную по параметру .

Решаем уравнение.

(;

векторное произведение) относительно параметра t.

Найденные корни — параметры «особых» точки.

Найдем «особые» точки, подставив значение параметров в уравнения, задающие кривую.

Установим вид кривой вблизи «особой» точки.

Находим производные от.

до тех пор, пока.

Находим векторное произведение.

.

до тех пор, пока.

В зависимости от параметров и, определим вид «особой» точки в соответствии с приведенной классификацией.

Найдем касательную в «особой» точке и построим кривую вблизи «особой» точки. Рассмотрим пример нахождения «особой» точки плоской кривой по разработанному алгоритму Дано:

Найдем :

;

Найдем.

;

Решим уравнение.

.

.

тогда — параметр «особой» точки Найдем «особые» точки, подставив в.

параметр

.

-" особая" точка Установим вид вблизи кривой «особой» точки при.

при .

Найдем.

При, значит ,.

В зависимости от параметров и, определим вид «особой» точки в соответствии с приведенной классификацией., значит точка — точка возврата первого рода.

Построим кривую вблизи «особой» точки. Найдем касательную в точке :

— касательная в точке рисунок 8.

Итак, в статье был разработан алгоритм нахождения «особых» точек плоских кривых, заданных параметрическими уравнениями, был приведен пример нахождения «особых» точек, определение типа «особой» точки и построения кривой в Д.П.С.К.