Вариационный принцип Лагранжа

При решении задач теории упругости иногда удобно использовать принцип возможной (виртуальной) работы. Для случая одной частицы этот принцип гласит: если частица находится в состоянии равновесия, то полная работа всех сил, действующих на нее, на любом возможном перемещении равна нулю.

Если u, v и w — суть компоненты возможного перемещения в направлениях x, y, z; X, Y, Z — суммы проекций всех сил на эти направления, то принцип возможной работы дает Эти уравнения выполняются для любого возможного перемещения, если выполняются условия равновесия.

X = 0, Y = 0, Z = 0.

Обратно, если даны уравнения (2.49), то умножая их на произвольные множители u, v, w, получим (2.48).

Упругое тело, находящееся в состоянии покоя под действием объемных и поверхностных сил, представляет собой систему частиц, на каждую из которых действует уравновешенная система сил. На любом возможном перемещении полная работа всех сил, совершенная над каждой частицей, равна нулю; следовательно, обращается в нуль и полная работа.

В качестве возможного перемещения в случае упругого тела можно принять любое малое перемещение, допускаемое условиями сплошности и наложенными на тело связями.

Если в выражении для Э (2.46) вектор перемещений {u} заменить вектором возможных перемещений {u}, а затем знак вариации вынести из-под знаков интегралов, то получим следующее уравнение Э = 0.

Уравнение (2.50) показывает, что действительные перемещения u, v и w при заданных внешних силах и заданных условиях закрепления таковы, что для любого возможного перемещения вариация полной потенциальной энергии равна нулю; тем самым полная потенциальная энергия стационарна. Это и есть принцип вариации перемещений — принцип Лагранжа. Отметим, что вариацией называется искусственное малое приращение малой величины. Операция варьирования аналогична операции дифференцирования.

Вариационное уравнение Э = 0, в интегральной форме выражает условия равновесия деформируемого тела. Оно включает в себя соответствующие дифференциальные уравнения равновесия и условия на поверхности тела.