Несобственные интегралы от неограниченных функций (несобственные интегралы второго рода)
Особенность на правом конце промежутка интегрирования. Пусть функция f (x) определена на полуинтерваленазывается предел. Если этот предел конечен, говорят, что интеграл сходится; если предел не существует или бесконечен, говорят, что интеграл расходится. Применение формулы Ньютона-Лейбница. Если для функции f (x) на полуинтервале (a, b] существует первообразная F (x), то. Имея в виду, что если… Читать ещё >
Несобственные интегралы от неограниченных функций (несобственные интегралы второго рода) (реферат, курсовая, диплом, контрольная)
Особенность на левом конце промежутка интегрирования
Пусть функция f(x) определена на полуинтервале (a, b], интегрируема по любому отрезку, и имеет бесконечный предел при. Несобственным интегралом от f(x) по отрезку [a, b]называется предел. Если этот предел конечен, говорят, что интеграл сходится; если предел не существует или бесконечен, говорят, что интеграл расходится.
Пример 1. 1:
— интеграл расходится;
Пример 2. 2:
— интеграл сходится.
Применение формулы Ньютона-Лейбница. Если для функции f(x) на полуинтервале (a, b] существует первообразная F(x), то.
.
и сходимость интеграла определяется наличием или отсутствием конечного предела. Будем писать просто.
.
имея в виду, что если соответствующий предел конечен, то интеграл сходится, в противном случае-расходится.
1. (интеграл сходится).
2. (интеграл расходится).
В следующих дальше случаях неограниченности функции будем поступать аналогично.
Особенность на правом конце промежутка интегрирования. Пусть функция f(x) определена на полуинтервале [a, b), интегрируема по любому отрезку, и имеет бесконечный предел при. Несобственным интегралом от f(x) по отрезку [a, b]называется предел. Если этот предел конечен, говорят, что интеграл сходится; если предел не существует или бесконечен, говорят, что интеграл расходится.
Особенность во внутренней точке промежутка интегрирования. Пусть функция f(x) определена на отрезке [a, b], имеет бесконечный предел при стремлении аргумента к какой-либо внутренней точке c этого отрезка:, интегрируема по любому отрезку, не содержащему точку c. Несобственным интегралом от f(x) по отрезку [a, b] называется. Интеграл сходится, если оба эти пределы существуют и конечны, в противном случае интеграл расходится.
Несколько особенностей на промежутке интегрирования. Этот случай сводится к предыдущим. Пусть, например, функция имеет бесконечные пределы при стремлении аргумента к внутренним точкам c1, c2, c3 отрезка [a, b](a < c1 < c2 < c3 < b) и правому концу b, и интегрируема по любому отрезку, не содержащему эти точки. Тогда несобственный интеграл определяется как.
.
Здесь d1, d2, d3 — произвольные точки, удовлетворяющие неравенствам a < c1 < d1 < c2 < d2 < c3 < d3 < b.
Пример 1:
.
и интеграл расходится, так как все три предела бесконечны. Решение с применением формулы Ньютона-Лейбница:
— расходится, так как первообразная обращается в бесконечность в точке x = -1.