Π”ΠΈΠΏΠ»ΠΎΠΌΡ‹, курсовыС, Ρ€Π΅Ρ„Π΅Ρ€Π°Ρ‚Ρ‹, ΠΊΠΎΠ½Ρ‚Ρ€ΠΎΠ»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅...
Брочная ΠΏΠΎΠΌΠΎΡ‰ΡŒ Π² ΡƒΡ‡Ρ‘Π±Π΅

Ѐункция распрСдСлСния Π½Π΅ΠΏΡ€Π΅Ρ€Ρ‹Π²Π½ΠΎΠΉ случайной Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Ρ‹

Π Π΅Ρ„Π΅Ρ€Π°Ρ‚ΠŸΠΎΠΌΠΎΡ‰ΡŒ Π² Π½Π°ΠΏΠΈΡΠ°Π½ΠΈΠΈΠ£Π·Π½Π°Ρ‚ΡŒ ΡΡ‚ΠΎΠΈΠΌΠΎΡΡ‚ΡŒΠΌΠΎΠ΅ΠΉ Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Ρ‹

ΠžΡ‡Π΅Π²ΠΈΠ΄Π½ΠΎ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ p (x) — Π½Π΅ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Π°Ρ функция. Для опрСдСлСния вСроятности Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ случайная Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Π° ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ‚ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΈΠ· ΠΏΡ€ΠΎΠΌΠ΅ΠΆΡƒΡ‚ΠΊΠ°ΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ‡Π½ΠΎΠΉ Π΄Π»ΠΈΠ½Ρ‹, Π½ΡƒΠΆΠ½ΠΎ Π²Ρ‹Π±Ρ€Π°Ρ‚ΡŒ Π½Π° ΠΏΡ€ΠΎΠΌΠ΅ΠΆΡƒΡ‚ΠΊΠ΅ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ числа x1, Ρ… 2, Ρ…n ΡƒΠ΄ΠΎΠ²Π»Π΅Ρ‚Π²ΠΎΡ€ΡΡŽΡ‰ΠΈΠ΅ ΡƒΡΠ»ΠΎΠ²ΠΈΡŽ: ΠžΡ‡Π΅Π²ΠΈΠ΄Π½ΠΎ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π·Π°ΠΊΠΎΠ½ распрСдСлСния дискрСтной случайной Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Ρ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π·Π°Π΄Π°Ρ‚ΡŒ с ΠΏΠΎΠΌΠΎΡ‰ΡŒΡŽ Ρ‚Π°Π±Π»ΠΈΡ†Ρ‹, Π³Π΄Π΅ ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠΌΡƒ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΡŽ этой случайной Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Ρ‹ ставится Π² ΡΠΎΠΎΡ‚вСтствиС… Π§ΠΈΡ‚Π°Ρ‚ΡŒ Π΅Ρ‰Ρ‘ >

Ѐункция распрСдСлСния Π½Π΅ΠΏΡ€Π΅Ρ€Ρ‹Π²Π½ΠΎΠΉ случайной Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Ρ‹ (Ρ€Π΅Ρ„Π΅Ρ€Π°Ρ‚, курсовая, Π΄ΠΈΠΏΠ»ΠΎΠΌ, ΠΊΠΎΠ½Ρ‚Ρ€ΠΎΠ»ΡŒΠ½Π°Ρ)

Блучайная Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Π°, значСния ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ Π·Π°ΠΏΠΎΠ»Π½ΡΡŽΡ‚ Π½Π΅ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ΠΉ ΠΏΡ€ΠΎΠΌΠ΅ΠΆΡƒΡ‚ΠΎΠΊ, называСтся Π½Π΅ΠΏΡ€Π΅Ρ€Ρ‹Π²Π½ΠΎΠΉ.

Π’ Ρ‡Π°ΡΡ‚Π½Ρ‹Ρ… случаях это ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ Π½Π΅ ΠΎΠ΄ΠΈΠ½ ΠΏΡ€ΠΎΠΌΠ΅ΠΆΡƒΡ‚ΠΎΠΊ, Π° ΠΎΠ±ΡŠΠ΅Π΄ΠΈΠ½Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π½Π΅ΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΈΡ… ΠΏΡ€ΠΎΠΌΠ΅ΠΆΡƒΡ‚ΠΊΠΎΠ². ΠŸΡ€ΠΎΠΌΠ΅ΠΆΡƒΡ‚ΠΊΠΈ ΠΌΠΎΠ³ΡƒΡ‚ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ ΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ‡Π½Ρ‹ΠΌΠΈ, полубСсконСчными ΠΈΠ»ΠΈ бСсконСчными, Π½Π°ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€: (a; b], (-; a), [b;), (- ;).

Если — нСпрСрывная случайная Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Π°, Ρ‚ΠΎ Ρ€Π°Π²Π΅Π½ΡΡ‚Π²ΠΎ = Ρ… прСдставляСт собой, ΠΊΠ°ΠΊ ΠΈ Π² ΡΠ»ΡƒΡ‡Π°Π΅ дискрСтной случайной Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Ρ‹, Π½Π΅ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ΅ случайноС событиС, Π½ΠΎ Π΄Π»Ρ Π½Π΅ΠΏΡ€Π΅Ρ€Ρ‹Π²Π½ΠΎΠΉ случайной Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Ρ‹ это событиС ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΡΠ²ΡΠ·Π°Ρ‚ΡŒ лишь с Π²Π΅Ρ€ΠΎΡΡ‚Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒΡŽ, Ρ€Π°Π²Π½ΠΎΠΉ Π½ΡƒΠ»ΡŽ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΎΠ΄Π½Π°ΠΊΠΎ Π½Π΅ Π²Π»Π΅Ρ‡Ρ‘Ρ‚ Π·Π° ΡΠΎΠ±ΠΎΠΉ нСвозмоТности события.

Π’Π΅Ρ€ΠΎΡΡ‚Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ, отличная ΠΎΡ‚ Π½ΡƒΠ»Ρ, ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ связана Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ с ΠΏΠΎΠΏΠ°Π΄Π°Π½ΠΈΠ΅ΠΌ Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Ρ‹ Π² Π·Π°Π΄Π°Π½Π½Ρ‹ΠΉ, хотя Π±Ρ‹ ΠΈ Π²Π΅ΡΡŒΠΌΠ° ΡƒΠ·ΠΊΠΈΠΉ, ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Ρ€Π²Π°Π». Π—Π΄Π΅ΡΡŒ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ привСсти сравнСниС с Ρ€Π°ΡΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ массы вдоль стСрТня. ΠžΡ‚ΡΡƒΡ‚ΡΡ‚Π²ΡƒΠ΅Ρ‚ масса, сосрСдоточСнная, скаТСм, Π² ΡΠ΅Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠΈ, располоТСнном Π½Π° Ρ€Π°ΡΡΡ‚оянии 20 ΡΠΌ ΠΎΡ‚ Π»Π΅Π²ΠΎΠ³ΠΎ ΠΊΠΎΠ½Ρ†Π° стСрТня, ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ смысл Π³ΠΎΠ²ΠΎΡ€ΠΈΡ‚ΡŒ лишь ΠΎ ΠΌΠ°ΡΡΠ΅, Π·Π°ΠΊΠ»ΡŽΡ‡Ρ‘Π½Π½ΠΎΠΉ ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ сСчСниями, проходящими Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· ΠΊΠΎΠ½Ρ†Ρ‹ Π½Π΅ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡ€ΠΎΠΌΠ΅ΠΆΡƒΡ‚ΠΊΠ°.

ΠŸΡƒΡΡ‚ΡŒ — нСпрСрывная случайная Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Π°. Рассмотрим для Π½Π΅ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ³ΠΎ числа Ρ… Π²Π΅Ρ€ΠΎΡΡ‚Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ нСравСнства:

Ρ… < < Ρ… + Ρ…,

P(Ρ… < < Ρ… + Ρ…).

Π—Π΄Π΅ΡΡŒ Ρ… — Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Π° ΠΌΠ°Π»ΠΎΠ³ΠΎ ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Ρ€Π²Π°Π»Π°.

ΠžΡ‡Π΅Π²ΠΈΠ΄Π½ΠΎ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ссли Ρ… 0, Ρ‚ΠΎ.

P(Ρ… < < Ρ… + Ρ…) 0.

ΠžΠ±ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡ΠΈΠΌ Ρ€(Ρ…) ΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π» ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ.

P(Ρ… < < Ρ… + Ρ…) ΠΊ Ρ… ΠΏΡ€ΠΈ Ρ… 0,.

Ссли Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠΉ ΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π» сущСствуСт:

(1).

(1).

Ѐункция Ρ€(Ρ…) называСтся ΠΏΠ»ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒΡŽ распрСдСлСния случайной Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Ρ‹. Из Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ (1) слСдуСт равСнство, справСдливоС для ΠΌΠ°Π»Ρ‹Ρ… Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½ Ρ…, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ΅ Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΡΡ‡ΠΈΡ‚Π°Ρ‚ΡŒ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Ρ€(Ρ…):

P(Ρ… < < Ρ… + Ρ…) p(x)Ρ…, (2).

ΠžΡ‡Π΅Π²ΠΈΠ΄Π½ΠΎ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ p(x) — Π½Π΅ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Π°Ρ функция. Для опрСдСлСния вСроятности Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ случайная Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Π° ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ‚ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΈΠ· ΠΏΡ€ΠΎΠΌΠ΅ΠΆΡƒΡ‚ΠΊΠ° [a, b]ΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ‡Π½ΠΎΠΉ Π΄Π»ΠΈΠ½Ρ‹, Π½ΡƒΠΆΠ½ΠΎ Π²Ρ‹Π±Ρ€Π°Ρ‚ΡŒ Π½Π° ΠΏΡ€ΠΎΠΌΠ΅ΠΆΡƒΡ‚ΠΊΠ΅ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ числа x1, Ρ… 2, Ρ…n ΡƒΠ΄ΠΎΠ²Π»Π΅Ρ‚Π²ΠΎΡ€ΡΡŽΡ‰ΠΈΠ΅ ΡƒΡΠ»ΠΎΠ²ΠΈΡŽ:

Π°=Ρ… 0<Ρ… 1<x2<<xn<b=xn+1.

Π­Ρ‚ΠΈ числа Ρ€Π°Π·ΠΎΠ±ΡŒΡŽΡ‚ ΠΏΡ€ΠΎΠΌΠ΅ΠΆΡƒΡ‚ΠΎΠΊ [a, b] Π½Π° n+1 частСй, ΠΏΡ€Π΅Π΄ΡΡ‚Π°Π²Π»ΡΡŽΡ‰ΠΈΡ… собой ΠΏΡ€ΠΎΠΌΠ΅ΠΆΡƒΡ‚ΠΊΠΈ [Ρ… 0, Ρ… 1), [Ρ… 1, Ρ… 2),, [Ρ…n, b]. Π’Π²Π΅Π΄Ρ‘ΠΌ обозначСния:

Ρ… 0= Ρ… 1 — Ρ… 0, Ρ… 1= Ρ… 2 — Ρ… 1,, Ρ…n = b — Ρ…n,.

ΠΈ ΡΠΎΡΡ‚Π°Π²ΠΈΠΌ сумму:

Ѐункция распрСдСлСния Π½Π΅ΠΏΡ€Π΅Ρ€Ρ‹Π²Π½ΠΎΠΉ случайной Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Ρ‹.

.

Рассмотрим процСсс, ΠΏΡ€ΠΈ ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΌ число Ρ‚ΠΎΡ‡Π΅ΠΊ разбиСния Π½Π΅ΠΎΠ³Ρ€Π°Π½ΠΈΡ‡Π΅Π½Π½ΠΎ возрастаСт Ρ‚Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ максимальная Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Π° Ρ…i стрСмится ΠΊ Π½ΡƒΠ»ΡŽ. Π‘ΡƒΠ΄Π΅ΠΌ ΡΡ‡ΠΈΡ‚Π°Ρ‚ΡŒ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΡŽ p(x) Π½Π΅ΠΏΡ€Π΅Ρ€Ρ‹Π²Π½ΠΎΠΉ Π½Π° ΠΏΡ€ΠΎΠΌΠ΅ΠΆΡƒΡ‚ΠΊΠ΅ (Π°; b), Ρ‚ΠΎΠ³Π΄Π° ΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΎΠΌ суммы Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Ρ‘Π½Π½Ρ‹ΠΉ ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Π³Ρ€Π°Π» ΠΏΠΎ ΠΏΡ€ΠΎΠΌΠ΅ΠΆΡƒΡ‚ΠΊΡƒ [a; b] ΠΎΡ‚ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ p(x), Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹ΠΉ искомой вСроятности:

P(a b) = (3).

P(a b) = (3).

Π­Ρ‚ΠΎ равСнство ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ Ρ€Π°ΡΡΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΠ²Π°Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°ΠΊ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Ρ€(Ρ…). ΠžΡ‚ΡΡŽΠ΄Π° слСдуСт, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π²Π΅Ρ€ΠΎΡΡ‚Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ попадания случайной Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Ρ‹ Π² Π»ΡŽΠ±ΠΎΠΉ ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Ρ€Π²Π°Π» (Ρ… 1, Ρ… 2) Ρ€Π°Π²Π½Π° ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΠΈ Ρ„ΠΈΠ³ΡƒΡ€Ρ‹, ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠ²Π°Π½Π½ΠΎΠΉ ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΊΠΎΠΌ [Ρ… 1, Ρ… 2] оси Ρ…, Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠΎΠΌ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Ρ€(Ρ…) ΠΈ Π²Π΅Ρ€Ρ‚ΠΈΠΊΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌΠΈ прямыми Ρ… = Ρ… 1, Ρ… = Ρ… 2, ΠΊΠ°ΠΊ ΠΈΠ·ΠΎΠ±Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΎ Π½Π° Ρ€ΠΈΡΡƒΠ½ΠΊΠ΅ 1.

Если всС Π²ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½Ρ‹Π΅ значСния случайной Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Ρ‹ ΠΏΡ€ΠΈΠ½Π°Π΄Π»Π΅ΠΆΠ°Ρ‚ ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Ρ€Π²Π°Π»Ρƒ (Π°; b), Ρ‚ΠΎ Π΄Π»Ρ Ρ€(Ρ…) — Π΅Ρ‘ ΠΏΠ»ΠΎΡ‚ности распрСдСлСния справСдливо равСнство:

Ѐункция распрСдСлСния Π½Π΅ΠΏΡ€Π΅Ρ€Ρ‹Π²Π½ΠΎΠΉ случайной Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Ρ‹.

.

Для удобства ΠΈΠ½ΠΎΠ³Π΄Π° ΡΡ‡ΠΈΡ‚Π°ΡŽΡ‚ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΡŽ Ρ€(Ρ…) ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Ρ‘Π½Π½ΠΎΠΉ для всСх Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ Ρ…, полагая Π΅Ρ‘ Ρ€Π°Π²Π½ΠΎΠΉ Π½ΡƒΠ»ΡŽ Π² Ρ‚Π΅Ρ… Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ°Ρ… Ρ…, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ Π½Π΅ ΡΠ²Π»ΡΡŽΡ‚ся Π²ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½Ρ‹ΠΌΠΈ значСниями этой случайной Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Ρ‹.

ΠŸΠ»ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒΡŽ распрСдСлСния ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ ΡΠ»ΡƒΠΆΠΈΡ‚ΡŒ любая интСгрируСмая функция Ρ€(Ρ…), ΡƒΠ΄ΠΎΠ²Π»Π΅Ρ‚Π²ΠΎΡ€ΡΡŽΡ‰Π°Ρ Π΄Π²ΡƒΠΌ условиям:

Ρ€(Ρ…) 0;

Ѐункция распрСдСлСния Π½Π΅ΠΏΡ€Π΅Ρ€Ρ‹Π²Π½ΠΎΠΉ случайной Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Ρ‹.

.

ПослСднСС свойство называСтся свойством Π½ΠΎΡ€ΠΌΠΈΡ€ΠΎΠ²ΠΊΠΈ. МоТно Π·Π°Π΄Π°Π²Π°Ρ‚ΡŒ ΡΠ»ΡƒΡ‡Π°ΠΉΠ½ΡƒΡŽ Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Ρƒ, задавая Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΡŽ Ρ€(Ρ…), ΡƒΠ΄ΠΎΠ²Π»Π΅Ρ‚Π²ΠΎΡ€ΡΡŽΡ‰ΡƒΡŽ этим условиям. случайная Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Π° распрСдСлСниС статистика Π’ ΠΊΠ°Ρ‡Π΅ΡΡ‚Π²Π΅ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Π° рассмотрим ΡΠ»ΡƒΡ‡Π°ΠΉΠ½ΡƒΡŽ Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Ρƒ, Ρ€Π°Π²Π½ΠΎΠΌΠ΅Ρ€Π½ΠΎ Ρ€Π°ΡΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Ρ‘Π½Π½ΡƒΡŽ Π½Π° ΠΏΡ€ΠΎΠΌΠ΅ΠΆΡƒΡ‚ΠΊΠ΅ [a; b]. Π’ ΡΡ‚ΠΎΠΌ случаС Ρ€(Ρ…) постоянна Π²Π½ΡƒΡ‚Ρ€ΠΈ этого ΠΏΡ€ΠΎΠΌΠ΅ΠΆΡƒΡ‚ΠΊΠ°:

Ѐункция распрСдСлСния Π½Π΅ΠΏΡ€Π΅Ρ€Ρ‹Π²Π½ΠΎΠΉ случайной Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Ρ‹.

.

По ΡΠ²ΠΎΠΉΡΡ‚Π²Ρƒ 2) Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Ρ€(Ρ…):

Ѐункция распрСдСлСния Π½Π΅ΠΏΡ€Π΅Ρ€Ρ‹Π²Π½ΠΎΠΉ случайной Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Ρ‹.

.

Ѐункция распрСдСлСния Π½Π΅ΠΏΡ€Π΅Ρ€Ρ‹Π²Π½ΠΎΠΉ случайной Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Ρ‹.
Ѐункция распрСдСлСния Π½Π΅ΠΏΡ€Π΅Ρ€Ρ‹Π²Π½ΠΎΠΉ случайной Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Ρ‹.

.

Рис. 2.

Π“Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Ρ€(Ρ…) прСдставлСн Π½Π° Ρ€ΠΈΡΡƒΠ½ΠΊΠ΅ 2.

Π’ΠΎ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΈΡ… практичСских Π·Π°Π΄Π°Ρ‡Π°Ρ… Π²ΡΡ‚Ρ€Π΅Ρ‡Π°ΡŽΡ‚ΡΡ случайныС Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Ρ‹, Ρƒ ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Ρ… Π²ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½Ρ‹Π΅ значСния Π½Π΅ ΠΎΠ³Ρ€Π°Π½ΠΈΡ‡Π΅Π½Ρ‹ свСрху ΠΈ ΡΠ½ΠΈΠ·Ρƒ. Π’ ΡΡ‚ΠΎΠΌ случаС кривая распрСдСлСния располагаСтся Π½Π°Π΄ осью Ρ… ΠΈ ΠΏΡ€ΠΈ Ρ… ΠΈ Ρ… — асимптотичСски приблиТаСтся ΠΊ ΡΡ‚ΠΎΠΉ оси, ΠΊΠ°ΠΊ ΠΈΠ·ΠΎΠ±Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΎ Π½Π° Ρ€ΠΈΡΡƒΠ½ΠΊΠ΅ 1. Π’Π΅Ρ€ΠΎΡΡ‚Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ случайная Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Π° ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ‚ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅, мСньшСС Π½Π΅ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ³ΠΎ числа Π°, Ρ€Π°Π²Π½Π° ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΠΈ Ρ„ΠΈΠ³ΡƒΡ€Ρ‹, Π·Π°ΠΊΠ»ΡŽΡ‡Ρ‘Π½Π½ΠΎΠΉ ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ ΠΊΡ€ΠΈΠ²ΠΎΠΉ распрСдСлСния ΠΈ Π³ΠΎΡ€ΠΈΠ·ΠΎΠ½Ρ‚Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Π½ΠΎΠΉ осью слСва ΠΎΡ‚ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ Π°. Π‘ΡƒΠ΄Π΅ΠΌ ΡΡ‡ΠΈΡ‚Π°Ρ‚ΡŒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ такая ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΡŒ сущСствуСт.

ΠŸΡƒΡΡ‚ΡŒ — нСпрСрывная случайная Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Π°. Ѐункция F(x), которая опрСдСляСтся равСнством.

.

называСтся ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Π³Ρ€Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠ΅ΠΉ распрСдСлСния ΠΈΠ»ΠΈ просто Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠ΅ΠΉ распрСдСлСния случайной Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Ρ‹. НСпосрСдствСнно ΠΈΠ· ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΡ слСдуСт равСнство.

Ѐункция распрСдСлСния Π½Π΅ΠΏΡ€Π΅Ρ€Ρ‹Π²Π½ΠΎΠΉ случайной Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Ρ‹.

.

Π€ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π° ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Ρ‘Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Π³Ρ€Π°Π»Π° ΠΏΠΎ Π²Π΅Ρ€Ρ…Π½Π΅ΠΌΡƒ ΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Ρƒ Π² Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΌ случаС ΠΏΡ€ΠΈΠ²ΠΎΠ΄ΠΈΡ‚ ΠΊ ΡΠΎΠΎΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΡŽ. ΠŸΠ»ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ распрСдСлСния Ρ€(Ρ…) Π½Π°Π·Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‚ Π΄ΠΈΡ„Ρ„Π΅Ρ€Π΅Π½Ρ†ΠΈΠ°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠ΅ΠΉ распрСдСлСния.

Ѐункция распрСдСлСния F(x) случайной Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Ρ‹ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠ΅ свойства.

F(x) — нСпрСрывная Π²ΠΎΠ·Ρ€Π°ΡΡ‚Π°ΡŽΡ‰Π°Ρ функция.

;

Ѐункция распрСдСлСния Π½Π΅ΠΏΡ€Π΅Ρ€Ρ‹Π²Π½ΠΎΠΉ случайной Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Ρ‹.
Ѐункция распрСдСлСния Π½Π΅ΠΏΡ€Π΅Ρ€Ρ‹Π²Π½ΠΎΠΉ случайной Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Ρ‹.

Бвойства 1 ΠΈ 2 Π²Ρ‹Ρ‚Π΅ΠΊΠ°ΡŽΡ‚ нСпосрСдствСнно ΠΈΠ· ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΡ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ F(x).

ΠŸΡ€ΠΈΡ€Π°Ρ‰Π΅Π½ΠΈΠ΅ F(x) Π½Π° ΠΏΡ€ΠΎΠΌΠ΅ΠΆΡƒΡ‚ΠΊΠ΅ (Ρ… 1; Ρ… 2) Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ вСроятности Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ случайная Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Π° ΠΏΡ€ΠΈΠ½ΠΈΠΌΠ°Π΅Ρ‚ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΈΠ· ΡΡ‚ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡ€ΠΎΠΌΠ΅ΠΆΡƒΡ‚ΠΊΠ°:

F(x2) — F(x1) = P(x1 < x2).

Π”ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΡΡ‚Π²ΠΎ.

F(x2) = P(x1) + P(x1 < x2) = F(x1) + P(x1 < x2),.

P(x1 < x2) = F(x2) — F(x1).

Π—Π°ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΈΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ для Π½Π΅ΠΏΡ€Π΅Ρ€Ρ‹Π²Π½ΠΎΠΉ случайной Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Ρ‹ справСдливы равСнства:

P(x1 < x2) = P(x1 < < x2) = P(x1 < x2) = P(x1 x2).

Для Ρ€Π°Π²Π½ΠΎΠΌΠ΅Ρ€Π½ΠΎΠ³ΠΎ распрСдСлСния функция F(x) ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ Π²ΠΈΠ΄:

Рис. 3.

Рис. 3.

Ѐункция распрСдСлСния Π½Π΅ΠΏΡ€Π΅Ρ€Ρ‹Π²Π½ΠΎΠΉ случайной Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Ρ‹.

Π“Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ F(x) прСдставлСн Π½Π° Ρ€ΠΈΡΡƒΠ½ΠΊΠ΅ 3.

Π—Π°ΠΊΠΎΠ½ распрСдСлСния Π½Π΅ΠΏΡ€Π΅Ρ€Ρ‹Π²Π½ΠΎΠΉ случайной Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Ρ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ΡŒ Π·Π°Π΄Π°Π½ΠΈΠ΅ΠΌ Π»ΠΈΠ±ΠΎ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Ρ€(Ρ…), Π»ΠΈΠ±ΠΎ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ F(x).

Π€ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΡŽ распрСдСлСния F(x) ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΠΎΡΡ‚Ρ€ΠΎΠΈΡ‚ΡŒ ΠΈ Π΄Π»Ρ дискрСтной случайной Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Ρ‹, Ссли Π·Π°Π΄Π°Π½ Π·Π°ΠΊΠΎΠ½ распрСдСлСния этой случайной Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Ρ‹.

ΠŸΡƒΡΡ‚ΡŒ Π·Π°Π΄Π°Π½Π° дискрСтная случайная Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Π° с Π·Π°ΠΊΠΎΠ½ΠΎΠΌ распрСдСлСния.

Π .

0,2.

0,5.

0,3.

ΠŸΠΎΡΡ‚Ρ€ΠΎΠΈΠΌ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΡŽ F(x), ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΡ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅:

F(x) = P(x).

Ѐункция распрСдСлСния Π½Π΅ΠΏΡ€Π΅Ρ€Ρ‹Π²Π½ΠΎΠΉ случайной Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Ρ‹.

Π“Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ F(x) ΠΈΠ·ΠΎΠ±Ρ€Π°ΠΆΡ‘Π½ Π½Π° Ρ€ΠΈΡΡƒΠ½ΠΊΠ΅ 4.

Ѐункция распрСдСлСния Π½Π΅ΠΏΡ€Π΅Ρ€Ρ‹Π²Π½ΠΎΠΉ случайной Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Ρ‹.

ΠžΡ‡Π΅Π²ΠΈΠ΄Π½ΠΎ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π·Π°ΠΊΠΎΠ½ распрСдСлСния дискрСтной случайной Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Ρ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π·Π°Π΄Π°Ρ‚ΡŒ с ΠΏΠΎΠΌΠΎΡ‰ΡŒΡŽ Ρ‚Π°Π±Π»ΠΈΡ†Ρ‹, Π³Π΄Π΅ ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠΌΡƒ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΡŽ этой случайной Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Ρ‹ ставится Π² ΡΠΎΠΎΡ‚вСтствиС Π²Π΅Ρ€ΠΎΡΡ‚Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ, ΠΈΠ»ΠΈ с ΠΏΠΎΠΌΠΎΡ‰ΡŒΡŽ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ распрСдСлСния.

ΠŸΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒ вСсь тСкст
Π—Π°ΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΡ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒ Ρ‚Π΅ΠΊΡƒΡ‰Π΅ΠΉ Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚ΠΎΠΉ