Дипломы, курсовые, рефераты, контрольные...
Срочная помощь в учёбе

Функция распределения непрерывной случайной величины

РефератПомощь в написанииУзнать стоимостьмоей работы

Очевидно, что p (x) — неотрицательная функция. Для определения вероятности того, что случайная величина примет значение из промежуткаконечной длины, нужно выбрать на промежутке произвольные числа x1, х 2, хn удовлетворяющие условию: Очевидно, что закон распределения дискретной случайной величины можно задать с помощью таблицы, где каждому значению этой случайной величины ставится в соответствие… Читать ещё >

Функция распределения непрерывной случайной величины (реферат, курсовая, диплом, контрольная)

Случайная величина, значения которой заполняют некоторый промежуток, называется непрерывной.

В частных случаях это может быть не один промежуток, а объединение нескольких промежутков. Промежутки могут быть конечными, полубесконечными или бесконечными, например: (a; b], (-; a), [b;), (- ;).

Если — непрерывная случайная величина, то равенство = х представляет собой, как и в случае дискретной случайной величины, некоторое случайное событие, но для непрерывной случайной величины это событие можно связать лишь с вероятностью, равной нулю, что однако не влечёт за собой невозможности события.

Вероятность, отличная от нуля, может быть связана только с попаданием величины в заданный, хотя бы и весьма узкий, интервал. Здесь можно привести сравнение с распределением массы вдоль стержня. Отсутствует масса, сосредоточенная, скажем, в сечении, расположенном на расстоянии 20 см от левого конца стержня, имеет смысл говорить лишь о массе, заключённой между сечениями, проходящими через концы некоторого промежутка.

Пусть — непрерывная случайная величина. Рассмотрим для некоторого числа х вероятность неравенства:

х < < х + х,

P(х < < х + х).

Здесь х — величина малого интервала.

Очевидно, что если х 0, то.

P(х < < х + х) 0.

Обозначим р(х) предел отношения.

P(х < < х + х) к х при х 0,.

если такой предел существует:

(1).

(1).

Функция р(х) называется плотностью распределения случайной величины. Из формулы (1) следует равенство, справедливое для малых величин х, которое также можно считать определением функции р(х):

P(х < < х + х) p(x)х, (2).

Очевидно, что p(x) — неотрицательная функция. Для определения вероятности того, что случайная величина примет значение из промежутка [a, b]конечной длины, нужно выбрать на промежутке произвольные числа x1, х 2, хn удовлетворяющие условию:

а=х 0<х 1<x2<<xn<b=xn+1.

Эти числа разобьют промежуток [a, b] на n+1 частей, представляющих собой промежутки [х 0, х 1), [х 1, х 2),, [хn, b]. Введём обозначения:

х 0= х 1 — х 0, х 1= х 2 — х 1,, хn = b — хn,.

и составим сумму:

Функция распределения непрерывной случайной величины.

.

Рассмотрим процесс, при котором число точек разбиения неограниченно возрастает таким образом, что максимальная величина хi стремится к нулю. Будем считать функцию p(x) непрерывной на промежутке (а; b), тогда пределом суммы будет определённый интеграл по промежутку [a; b] от функции p(x), равный искомой вероятности:

P(a b) = (3).

P(a b) = (3).

Это равенство можно также рассматривать как определение функции р(х). Отсюда следует, что вероятность попадания случайной величины в любой интервал (х 1, х 2) равна площади фигуры, образованной отрезком [х 1, х 2] оси х, графиком функции р(х) и вертикальными прямыми х = х 1, х = х 2, как изображено на рисунке 1.

Если все возможные значения случайной величины принадлежат интервалу (а; b), то для р(х) — её плотности распределения справедливо равенство:

Функция распределения непрерывной случайной величины.

.

Для удобства иногда считают функцию р(х) определённой для всех значений х, полагая её равной нулю в тех точках х, которые не являются возможными значениями этой случайной величины.

Плотностью распределения может служить любая интегрируемая функция р(х), удовлетворяющая двум условиям:

р(х) 0;

Функция распределения непрерывной случайной величины.

.

Последнее свойство называется свойством нормировки. Можно задавать случайную величину, задавая функцию р(х), удовлетворяющую этим условиям. случайная величина распределение статистика В качестве примера рассмотрим случайную величину, равномерно распределённую на промежутке [a; b]. В этом случае р(х) постоянна внутри этого промежутка:

Функция распределения непрерывной случайной величины.

.

По свойству 2) функции р(х):

Функция распределения непрерывной случайной величины.

.

Функция распределения непрерывной случайной величины.
Функция распределения непрерывной случайной величины.

.

Рис. 2.

График функции р(х) представлен на рисунке 2.

Во многих практических задачах встречаются случайные величины, у которых возможные значения не ограничены сверху и снизу. В этом случае кривая распределения располагается над осью х и при х и х — асимптотически приближается к этой оси, как изображено на рисунке 1. Вероятность того, что случайная величина примет значение, меньшее некоторого числа а, равна площади фигуры, заключённой между кривой распределения и горизонтальной координатной осью слева от точки а. Будем считать, что такая площадь существует.

Пусть — непрерывная случайная величина. Функция F(x), которая определяется равенством.

.

называется интегральной функцией распределения или просто функцией распределения случайной величины. Непосредственно из определения следует равенство.

Функция распределения непрерывной случайной величины.

.

Формула производной определённого интеграла по верхнему пределу в данном случае приводит к соотношению. Плотность распределения р(х) называют дифференциальной функцией распределения.

Функция распределения F(x) случайной величины имеет следующие свойства.

F(x) — непрерывная возрастающая функция.

;

Функция распределения непрерывной случайной величины.
Функция распределения непрерывной случайной величины.

Свойства 1 и 2 вытекают непосредственно из определения функции F(x).

Приращение F(x) на промежутке (х 1; х 2) равно вероятности того, что случайная величина принимает значение из этого промежутка:

F(x2) — F(x1) = P(x1 < x2).

Доказательство.

F(x2) = P(x1) + P(x1 < x2) = F(x1) + P(x1 < x2),.

P(x1 < x2) = F(x2) — F(x1).

Заметим, что для непрерывной случайной величины справедливы равенства:

P(x1 < x2) = P(x1 < < x2) = P(x1 < x2) = P(x1 x2).

Для равномерного распределения функция F(x) имеет вид:

Рис. 3.

Рис. 3.

Функция распределения непрерывной случайной величины.

График функции F(x) представлен на рисунке 3.

Закон распределения непрерывной случайной величины можно определить заданием либо функции р(х), либо функции F(x).

Функцию распределения F(x) можно построить и для дискретной случайной величины, если задан закон распределения этой случайной величины.

Пусть задана дискретная случайная величина с законом распределения.

Р.

0,2.

0,5.

0,3.

Построим функцию F(x), используя определение:

F(x) = P(x).

Функция распределения непрерывной случайной величины.

График функции F(x) изображён на рисунке 4.

Функция распределения непрерывной случайной величины.

Очевидно, что закон распределения дискретной случайной величины можно задать с помощью таблицы, где каждому значению этой случайной величины ставится в соответствие вероятность, или с помощью функции распределения.

Показать весь текст
Заполнить форму текущей работой