Функция распределения непрерывной случайной величины
Очевидно, что p (x) — неотрицательная функция. Для определения вероятности того, что случайная величина примет значение из промежуткаконечной длины, нужно выбрать на промежутке произвольные числа x1, х 2, хn удовлетворяющие условию: Очевидно, что закон распределения дискретной случайной величины можно задать с помощью таблицы, где каждому значению этой случайной величины ставится в соответствие… Читать ещё >
Функция распределения непрерывной случайной величины (реферат, курсовая, диплом, контрольная)
Случайная величина, значения которой заполняют некоторый промежуток, называется непрерывной.
В частных случаях это может быть не один промежуток, а объединение нескольких промежутков. Промежутки могут быть конечными, полубесконечными или бесконечными, например: (a; b], (-; a), [b;), (- ;).
Если — непрерывная случайная величина, то равенство = х представляет собой, как и в случае дискретной случайной величины, некоторое случайное событие, но для непрерывной случайной величины это событие можно связать лишь с вероятностью, равной нулю, что однако не влечёт за собой невозможности события.
Вероятность, отличная от нуля, может быть связана только с попаданием величины в заданный, хотя бы и весьма узкий, интервал. Здесь можно привести сравнение с распределением массы вдоль стержня. Отсутствует масса, сосредоточенная, скажем, в сечении, расположенном на расстоянии 20 см от левого конца стержня, имеет смысл говорить лишь о массе, заключённой между сечениями, проходящими через концы некоторого промежутка.
Пусть — непрерывная случайная величина. Рассмотрим для некоторого числа х вероятность неравенства:
х < < х + х,
P(х < < х + х).
Здесь х — величина малого интервала.
Очевидно, что если х 0, то.
P(х < < х + х) 0.
Обозначим р(х) предел отношения.
P(х < < х + х) к х при х 0,.
если такой предел существует:
(1).
Функция р(х) называется плотностью распределения случайной величины. Из формулы (1) следует равенство, справедливое для малых величин х, которое также можно считать определением функции р(х):
P(х < < х + х) p(x)х, (2).
Очевидно, что p(x) — неотрицательная функция. Для определения вероятности того, что случайная величина примет значение из промежутка [a, b]конечной длины, нужно выбрать на промежутке произвольные числа x1, х 2, хn удовлетворяющие условию:
а=х 0<х 1<x2<<xn<b=xn+1.
Эти числа разобьют промежуток [a, b] на n+1 частей, представляющих собой промежутки [х 0, х 1), [х 1, х 2),, [хn, b]. Введём обозначения:
х 0= х 1 — х 0, х 1= х 2 — х 1,, хn = b — хn,.
и составим сумму:
.
Рассмотрим процесс, при котором число точек разбиения неограниченно возрастает таким образом, что максимальная величина хi стремится к нулю. Будем считать функцию p(x) непрерывной на промежутке (а; b), тогда пределом суммы будет определённый интеграл по промежутку [a; b] от функции p(x), равный искомой вероятности:
P(a b) = (3).
Это равенство можно также рассматривать как определение функции р(х). Отсюда следует, что вероятность попадания случайной величины в любой интервал (х 1, х 2) равна площади фигуры, образованной отрезком [х 1, х 2] оси х, графиком функции р(х) и вертикальными прямыми х = х 1, х = х 2, как изображено на рисунке 1.
Если все возможные значения случайной величины принадлежат интервалу (а; b), то для р(х) — её плотности распределения справедливо равенство:
.
Для удобства иногда считают функцию р(х) определённой для всех значений х, полагая её равной нулю в тех точках х, которые не являются возможными значениями этой случайной величины.
Плотностью распределения может служить любая интегрируемая функция р(х), удовлетворяющая двум условиям:
р(х) 0;
.
Последнее свойство называется свойством нормировки. Можно задавать случайную величину, задавая функцию р(х), удовлетворяющую этим условиям. случайная величина распределение статистика В качестве примера рассмотрим случайную величину, равномерно распределённую на промежутке [a; b]. В этом случае р(х) постоянна внутри этого промежутка:
.
По свойству 2) функции р(х):
.
.
Рис. 2.
График функции р(х) представлен на рисунке 2.
Во многих практических задачах встречаются случайные величины, у которых возможные значения не ограничены сверху и снизу. В этом случае кривая распределения располагается над осью х и при х и х — асимптотически приближается к этой оси, как изображено на рисунке 1. Вероятность того, что случайная величина примет значение, меньшее некоторого числа а, равна площади фигуры, заключённой между кривой распределения и горизонтальной координатной осью слева от точки а. Будем считать, что такая площадь существует.
Пусть — непрерывная случайная величина. Функция F(x), которая определяется равенством.
.
называется интегральной функцией распределения или просто функцией распределения случайной величины. Непосредственно из определения следует равенство.
.
Формула производной определённого интеграла по верхнему пределу в данном случае приводит к соотношению. Плотность распределения р(х) называют дифференциальной функцией распределения.
Функция распределения F(x) случайной величины имеет следующие свойства.
F(x) — непрерывная возрастающая функция.
;
Свойства 1 и 2 вытекают непосредственно из определения функции F(x).
Приращение F(x) на промежутке (х 1; х 2) равно вероятности того, что случайная величина принимает значение из этого промежутка:
F(x2) — F(x1) = P(x1 < x2).
Доказательство.
F(x2) = P(x1) + P(x1 < x2) = F(x1) + P(x1 < x2),.
P(x1 < x2) = F(x2) — F(x1).
Заметим, что для непрерывной случайной величины справедливы равенства:
P(x1 < x2) = P(x1 < < x2) = P(x1 < x2) = P(x1 x2).
Для равномерного распределения функция F(x) имеет вид:
Рис. 3.
График функции F(x) представлен на рисунке 3.
Закон распределения непрерывной случайной величины можно определить заданием либо функции р(х), либо функции F(x).
Функцию распределения F(x) можно построить и для дискретной случайной величины, если задан закон распределения этой случайной величины.
Пусть задана дискретная случайная величина с законом распределения.
Р. | 0,2. | 0,5. | 0,3. |
Построим функцию F(x), используя определение:
F(x) = P(x).
График функции F(x) изображён на рисунке 4.
Очевидно, что закон распределения дискретной случайной величины можно задать с помощью таблицы, где каждому значению этой случайной величины ставится в соответствие вероятность, или с помощью функции распределения.