Функция распределения непрерывной случайной величины

Случайная величина, значения которой заполняют некоторый промежуток, называется непрерывной.

В частных случаях это может быть не один промежуток, а объединение нескольких промежутков. Промежутки могут быть конечными, полубесконечными или бесконечными, например: (a; b], (-; a), [b;), (- ;).

Если — непрерывная случайная величина, то равенство = х представляет собой, как и в случае дискретной случайной величины, некоторое случайное событие, но для непрерывной случайной величины это событие можно связать лишь с вероятностью, равной нулю, что однако не влечёт за собой невозможности события.

Вероятность, отличная от нуля, может быть связана только с попаданием величины в заданный, хотя бы и весьма узкий, интервал. Здесь можно привести сравнение с распределением массы вдоль стержня. Отсутствует масса, сосредоточенная, скажем, в сечении, расположенном на расстоянии 20 см от левого конца стержня, имеет смысл говорить лишь о массе, заключённой между сечениями, проходящими через концы некоторого промежутка.

Пусть — непрерывная случайная величина. Рассмотрим для некоторого числа х вероятность неравенства:

х < < х + х,

P(х < < х + х).

Здесь х — величина малого интервала.

Очевидно, что если х 0, то.

P(х < < х + х) 0.

Обозначим р(х) предел отношения.

P(х < < х + х) к х при х 0,.

если такой предел существует:

(1).

Функция р(х) называется плотностью распределения случайной величины. Из формулы (1) следует равенство, справедливое для малых величин х, которое также можно считать определением функции р(х):

P(х < < х + х) p(x)х, (2).

Очевидно, что p(x) — неотрицательная функция. Для определения вероятности того, что случайная величина примет значение из промежутка [a, b]конечной длины, нужно выбрать на промежутке произвольные числа x₁, х ₂, х_n удовлетворяющие условию:

а=х ₀<х ₁<x₂<<x_n<b=x_n+1.

Эти числа разобьют промежуток [a, b] на n+1 частей, представляющих собой промежутки [х ₀, х ₁), [х ₁, х ₂),, [х_n, b]. Введём обозначения:

х ₀= х ₁ — х ₀, х ₁= х ₂ — х ₁,, х_n = b — х_n,.

и составим сумму:

.

Рассмотрим процесс, при котором число точек разбиения неограниченно возрастает таким образом, что максимальная величина х_i стремится к нулю. Будем считать функцию p(x) непрерывной на промежутке (а; b), тогда пределом суммы будет определённый интеграл по промежутку [a; b] от функции p(x), равный искомой вероятности:

P(a b) = (3).

Это равенство можно также рассматривать как определение функции р(х). Отсюда следует, что вероятность попадания случайной величины в любой интервал (х ₁, х ₂) равна площади фигуры, образованной отрезком [х ₁, х ₂] оси х, графиком функции р(х) и вертикальными прямыми х = х ₁, х = х ₂, как изображено на рисунке 1.

Если все возможные значения случайной величины принадлежат интервалу (а; b), то для р(х) — её плотности распределения справедливо равенство:

.

Для удобства иногда считают функцию р(х) определённой для всех значений х, полагая её равной нулю в тех точках х, которые не являются возможными значениями этой случайной величины.

Плотностью распределения может служить любая интегрируемая функция р(х), удовлетворяющая двум условиям:

р(х) 0;

.

Последнее свойство называется свойством нормировки. Можно задавать случайную величину, задавая функцию р(х), удовлетворяющую этим условиям. случайная величина распределение статистика В качестве примера рассмотрим случайную величину, равномерно распределённую на промежутке [a; b]. В этом случае р(х) постоянна внутри этого промежутка:

.

По свойству 2) функции р(х):

.

.

Рис. 2.

График функции р(х) представлен на рисунке 2.

Во многих практических задачах встречаются случайные величины, у которых возможные значения не ограничены сверху и снизу. В этом случае кривая распределения располагается над осью х и при х и х — асимптотически приближается к этой оси, как изображено на рисунке 1. Вероятность того, что случайная величина примет значение, меньшее некоторого числа а, равна площади фигуры, заключённой между кривой распределения и горизонтальной координатной осью слева от точки а. Будем считать, что такая площадь существует.

Пусть — непрерывная случайная величина. Функция F(x), которая определяется равенством.

.

называется интегральной функцией распределения или просто функцией распределения случайной величины. Непосредственно из определения следует равенство.

.

Формула производной определённого интеграла по верхнему пределу в данном случае приводит к соотношению. Плотность распределения р(х) называют дифференциальной функцией распределения.

Функция распределения F(x) случайной величины имеет следующие свойства.

F(x) — непрерывная возрастающая функция.

;

Свойства 1 и 2 вытекают непосредственно из определения функции F(x).

Приращение F(x) на промежутке (х ₁; х ₂) равно вероятности того, что случайная величина принимает значение из этого промежутка:

F(x₂) — F(x₁) = P(x₁ < x₂).

Доказательство.

F(x₂) = P(x₁) + P(x₁ < x₂) = F(x₁) + P(x₁ < x₂),.

P(x₁ < x₂) = F(x₂) — F(x₁).

Заметим, что для непрерывной случайной величины справедливы равенства:

P(x₁ < x₂) = P(x₁ < < x₂) = P(x₁ < x₂) = P(x₁ x₂).

Для равномерного распределения функция F(x) имеет вид:

Рис. 3.

График функции F(x) представлен на рисунке 3.

Закон распределения непрерывной случайной величины можно определить заданием либо функции р(х), либо функции F(x).

Функцию распределения F(x) можно построить и для дискретной случайной величины, если задан закон распределения этой случайной величины.

Пусть задана дискретная случайная величина с законом распределения.

Построим функцию F(x), используя определение:

F(x) = P(x).

График функции F(x) изображён на рисунке 4.

Очевидно, что закон распределения дискретной случайной величины можно задать с помощью таблицы, где каждому значению этой случайной величины ставится в соответствие вероятность, или с помощью функции распределения.