Первообразная и неопределённый интеграл (теория)

Первообразная и неопределённый интеграл (теория) Задачей интегрирования является нахождение исходной функции по ее производной, то есть интегрирование — операция, обратная дифференцированию.

Определение 1. Пусть функция определена на множестве. Функция, дифференцируемая в каждой точке, принадлежащей, называется первообразной для функции на этом множестве, если.

для всех .

Очевидно, что если — первообразная для, то и функция.

.

где — произвольная константа, будет первообразной для на том же множестве. При дополнительных предположениях верно и обратное утверждение.

Лемма 2. Если множество является промежутком и на, то функция постоянна на (промежутками мы называем интервалы, отрезки, полуинтервалы, полупрямые и всю числовую ось) .

Доказательство. Пусть — две произвольные точки, тогда, так как — промежуток, интервал целиком принадлежит, и дифференцируема на интервале. По теореме Лагранжа найдется точка, для которой.

.

так как. Следовательно,.

.

Лемма доказана.

Замечание. Если множество состоит из двух непересекающихся промежутков, то лемма неверна. Например, если при и при, а при функция не определена, то, но функция не является постоянной на .

Следствие 3. Если и — две первообразных для одной функции на промежутке, то существует такая константа, для которой.

.

Доказательство. Так как.

.

то.

ч.т.д.

Иными словами, для того, чтобы две функции были первообразными для одной функции на промежутке, необходимо и достаточно, чтобы они различались на константу на этом промежутке.

Иначе говоря,.

.

Согласно Следствию 3, если — промежуток, и — какая-нибудь первообразная для, то.

.

где — произвольная константа.

Все свойства неопределённых интегралов являются следствиями соответствующих свойств для производных. Для их проверки (или доказательства) достаточно продифференцировать правую и левую части соответствующего равенства. Если результаты совпадут, то левая и правая части отличаются на константу, но для равенств, включающих неопределенные интегралы, это отличие нивелируется, так как константа входит в состав неопределенного интеграла.

Свойства 5. Базовые свойства неопределенного интеграла:

(1). ,.

где — произвольная постоянная (следует из определения);

(2).,.

если интеграл справа существует (следует из определения);

(3).,.

если интегралы справа существуют (следует из определения);

(4). Если имеет производную, то.

(следует из определения);

(5). (следует из определения).

Из теоремы о производной сложной функции вытекает правило замены переменных в интеграле.

Теорема 6. (Замена переменной в неопределенном интеграле). Пусть выполнены следующие условия:

• а) функция имеет первообразную на интервале ;
• б) функция задает взаимно однозначное соответствие интервала и интервала, и имеет обратную функцию ;
• в) функция

имеет непрерывную производную на интервале .

Тогда интеграл.

.

Соответственно, если функция является первообразной к функции, то.

.

Проще говоря, с точностью до замены переменной.

.

или, в другой форме,.

.

Доказательство. По теореме о производной сложной функции при всех существует производная.

.

то есть является первообразной для функции, что и утверждается в теореме.

Теорема 7. (Интегрирование по частям в неопределенном интеграле). Для произвольных функций и, имеющих непрерывные производные на интервале, верна формула.

.

или, в другой форме,.

(при этом интеграл в правой части существует).

Доказательство. Напишем формулу производной произведения.

.

или.

.

Если интеграл от второго слагаемого в правой части существует (а интеграл от первого слагаемого в правой части существует и по Свойству 5.4 равен), то существует и интеграл от левой части и формула интегрирования по частям верна. Интеграл от второго слагаемого существует, потому что его подинтегральная функция непрерывна (это утверждение будет доказано позже, после изложения теории определенных интегралов).

Как вычислять неопределенные интегралы (практика) Прежде всего, для вычисления неопределенных интегралов надо выучить таблицу стандартных интегралов для наиболее часто встречающихся интегралов от простых функций. Примерная таблица стандартных неопределённых интегралов приведена ниже:

если.

Замечание.

В стандартную таблицу попали только интегралы от производных простых функций. Интегралы от некоторых других элементарных функций, которые не попали в эту таблицу, вычисляются (таковы интегралы от логарифма, арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса). Но многие достаточно простые интегралы (например) не могут быть выражены через элементарные функции с помощью арифметических операций и суперпозиций (через сложные функции). Такие интегралы называются неберущимися.

Когда приходится вычислять (говорят: брать) интеграл от функции, которую Вы видите в первый раз, не факт, что Вам удастся подобрать такую конечную комбинацию элементарных функций, производной которой является подинтегральная функция. Обычно, если сразу не видно, как свести предложенный интеграл к табличному, нужно попытаться упростить его, либо разбив подинтегральную функцию на сумму более простых, либо испробовать какую-либо замену переменных, либо определенный прием. Ниже описываются некоторые приемы.

Замена переменных. С практической точки зрения надо различать два типа замен. Замена первого типа имеет такой вид, как в теореме о замене переменной:

.

при этом надо одновременно сделать замену.

.

Такая замена возможна всегда, но на практике целесообразна только в нескольких конкретных ситуациях. После вычисления интеграла, зависящего теперь от переменной, надо сделать обратную замену, выразив.

.

Гораздо чаще приходится делать замену в форме неопределённый интеграл производный переменный.

.

При этом получим.

.

Такую замену делают в том случае, если выражение целиком входит в подинтегральную функцию, а оставшаяся часть подинтегральной функции содержит переменную только в форме выражения. Иногда для того, чтобы достичь такого представления, приходится совершать алгебраические преобразования подинтегральной функции. После вычисления интеграла опять-таки надо перейти к переменной заменой .

Пример 1 (замена первого типа). В интеграле.

сделаем замену переменной, тогда и после замены получим интеграл.

.

(надо сделать обратную подстановку).

Пример 2 (линейная замена). Замена вида.

.

используется тогда, когда интеграл отличается от табличного только линейным выражением в аргументе подинтегральной функции:

.

Эту замену можно делать в уме, мысленно дифференцируя полученный результат и подгоняя ответ с помощью умножения на соответствующую константу:

.

.

.

.

Пример3 (степенная замена). Замена вида.

.

использует совпадения:

а),.

б),.

в),.

г).

Пример 4. Часто используется замена или, например

.

Пример 5 (вычисление табличного интеграла от). Надо использовать замену.

.

Тогда.

.

Аналогично вычисляется.

.

Пример 6 (использование свойств экспоненты). Часто используется замена,. Иногда приходится предварительно произвести подходящее алгебраическое преобразование, например:

.

Пример 7. Часто приходится делать замену.

.

Например

.

Пример 8. Если подинтегральная функция состоит из степеней, произведений и сумм синусов и косинусов, то надо с помощью школьных формул преобразования произведений в суммы и формул понижения степени привести подинтегральное выражение к сумме синусов и косинусов вида и, после чего интеграл берется элементарно. Например

и т.д.

Пример 9. Если подинтегральная функция является отрицательной нечетной степенью синуса или косинуса, то используется следующий прием:

.

Метод вычисления интегралов от рациональных функций излагается ниже.

Пример 10. Эффективный способ можно предложить для интеграла от отрицательной четной степени синуса или косинуса. Например, для косинуса.

.

и можно воспользоваться подстановкой :

.

В последнем интеграле подинтегральная функция является многочленом.

Пример 11. Для того чтобы посчитать интеграл вида.

.

надо в знаменателе выделить полный квадрат:

.

Если дискриминант положителен, то этот интеграл равен.

.

а если отрицателен — то.

(см. таблицу интегралов).

Пример 12. Для того чтобы посчитать интеграл вида.

надо представить числитель дроби в виде суммы константы и выражения, пропорционального производной от знаменателя:

.

то есть.

.

.

Откуда.

.

Тогда исходный интеграл разложится в сумму интегралов.

.

Первый интеграл считается в примере 11, а второй интеграл равен.

.

Пример 13. Для того чтобы посчитать интеграл вида.

.

надо под корнем выделить полный квадрат:

.

Далее все зависит от того, направлены ветви параболы вверх () или вниз (). В первом случае интеграл сводится к длинному логарифму:

.

во втором случае — к арксинусу:

(см. таблицу интегралов).

Пример 14. Интеграл вида.

приводится к интегралу примера 13 по той же схеме, по которой интеграл примера 12 приводится к интегралу примера 11: надо представить числитель дроби в виде суммы константы и выражения, пропорционального производной от квадратного трехчлена под корнем в знаменателе:

.

то есть.

,.

Откуда.

.

Тогда исходный интеграл разложится в сумму интегралов.

.

Первый интеграл считается в примере 13, а второй интеграл равен.

(непосредственно проверяется).

Известно несколько типов интегралов, которые всегда выражаются через элементарные функции и для которых есть стандартные методы вычисления.

Отдельный класс задач составляют интегралы от рациональных дробей, так называются дроби вида.

.

где числитель и знаменатель — многочлены степени и от переменной). Нас будет интересовать случай (если это неравенство не выполняется, можно разделить числитель на знаменатель с остатком и представить дробь в виде суммы многочлена и дроби, для которой это неравенство будет выполняться).

Основная идея вычисления заключается в том, что указанное выражение можно разложить в сумму более простых дробей, интеграл от которых является табличным. Само разложение осуществляется методом неопределенных коэффициентов, суть которого мы объясним на примерах.

По одной из основных теорем алгебры, всякий многочлен от одной переменной с действительными коэффициентами может быть однозначно разложен в произведение.

.

где все коэффициенты — действительные числа, — все действительные корни этого многочлена (каждый со своей кратностью), а все квадратные трёхчлены не имеют действительных корней (их дискриминант меньше нуля). Рассмотрим несколько случаев.

Правило 1. Пусть в знаменателе дроби только однократные сомножители:

.

Тогда выражение.

раскладывается в сумму.

.

где — некоторые константы, которые надо определить. Интеграл от каждого слагаемого выражается натуральным логарифмом.

Правило 2. Если вместо однократного множителя многочлен содержит кратный множитель, то вместо одной простейшей дроби, соответствующей данному корню, разложение содержит набор дробей.

с некоторыми константами. Интегралы от каждого слагаемого табличные.

Правило 3. Множителю вида.

с отрицательным дискриминантом в разложении соответствует дробь.

с константами и. Интеграл от этого слагаемого разобран в примере 12.

Правило 4. Если множитель с квадратным выражением с отрицательным дискриминантом в разложении кратный и имеет вид.

.

то ему соответствует несколько простейших дробей.

с некоторыми константами и .

Эти интегралы в курсе не рассматриваются.

Таким образом, интеграл от всякой рациональной дроби может быть выражен в виде суммы рациональной функции, логарифмов и арктангенсов в конечном числе.

Сам метод неопределенных коэффициентов поясним на трех примерах.

Пример 16. Вычислить интеграл.

.

Согласно общей схеме подинтегральное выражение раскладывается в сумму.

.

Сравнивая числители левой и правой дроби, получаем тождество.

.

которое должно выполняться при любом значении х. В частности, при получаем, а при получаем. Итак,.

.

и наш интеграл равен.

Пример 17. Вычислить интеграл.

.

Согласно общей схеме разложение выглядит так:

.

Сравнивая числители левой и правой дроби, получаем тождество.

.

которое должно выполняться при любом значении х. В частности, при получаем, а при получаем. Чтобы найти А необходимо еще одно уравнение. При получаем.

.

Откуда.

.

Итак,.

.

и наш интеграл равен.

.

Пример 18 (рациональные функции от тригонометрических функций). Всякая рациональная функция от тригонометрических функций может быть приведена к обычной рациональной функции стандартной тригонометрической заменой.

.

то есть И.

.

При этом из школьных тригонометрических формул следует, что.

.

Пример 19 (начальные условия для первообразной). Пусть.

.

Тогда для какой-то определенной первообразной. Пока не задано условий на, константа С может считаться произвольной. Однако, если условие на задано, то оно зачастую позволяет определить константу С однозначно. Простейшее начальное условие имеет вид, откуда.

и .

Иногда формулируется более сложное условие, например

Или.

.

Оба этих условия все равно позволяют определить константу С, так как из уравнения.

(для второго условия соответственно из уравнения.

).

вытекает, что константа С находится однозначно.

Другая ситуация складывается, когда в условии сумма коэффициентов равна нулю (например, для условия). В этом случае при подстановке константа С сокращается и условие превращается в тождество для, которое либо выполняется, либо не выполняется. В этом случае необходима численная проверка тождества.

Пример 20 (интегрирование функции, склеенной из двух функций). Пусть функция задана формулами.

.

Эта функция непрерывна в точке. Первообразная к этой функции будет задана формулами.

.

Изюминка этого примера в том, что вследствие ограниченности функции ее первообразная должна быть непрерывной, поэтому константы и не могут быть произвольными обе. Должно выполняться равенство.

.

то есть.

.

Откуда.

.

Если считать произвольной константой, то получим окончательный ответ в виде.

.