Динамический (детерминированный) хаос

синергетика бифуркация хаос фрактал В классической равновесной термодинамике мерой хаоса служила энтропия. Два начала термодинамики были сформулированы еще Клаузиусом: энергия мира постоянна; энтропия мира стремится к максимуму. Для неравновесных открытых систем эти два закона дополняются третьим: принципом минимума диссипации энергии: Если допустимо не единственное состояние системы, а целая их совокупность, согласованная с законами сохранения и связями, наложенными на систему, то реализуется то ее состояние, которому отвечает минимальное рассеяние энергии, или минимальный рост энтропии.

Изолированные системы вследствие линейных термодинамических процессов эволюционируют к стационарному состоянию максимальной энтропии и неупорядоченности. Второй закон термодинамики описывает мир как непрерывно деградирующий, сползающий от порядка к молекулярному хаосу и тепловой смерти.

Возникновение диссипативных структур как переход противоположной направленности — от беспорядка, хаоса к порядку — весьма маловероятное событие по представлениям классической термодинамики. Однако эти процессы происходят постоянно и в неживой, и в живой природе. Возникновение диссипативных структур, самоупорядочение возможно лишь в открытых системах; при этом существенную роль играет диссипация, рассеивания энергии в открытой системе, находящейся в энергетическом потоке. Живые системы — открытые, далекие от равновесия, непрерывно обменивающиеся веществом и энергией со средой. Порядок клетки или организма репродуцируется на матричной основе предсуществовавшей упорядоченности, поддерживается и увеличивается до определенного предела за счет поглощения энергии и вещества из среды. Жизнь возникла и существует на границах сред, разделе физических фаз не случайно — здесь наиболее сильны конвекционные токи, потоки энергии и энтропии.

В последние десятилетия 20 века понятие хаоса изменилось. Сразу же следует заметить, что динамический, или детерминированный хаос нелинейных динамических систем — это не хаос, понимаемый как полная дезорганизация и случайность событий. Современное понимание хаоса ближе к исходному древнегреческому: «хаос» — беспредельная неупорядоченная масса, из которой возникло все существующее.

Динамический (детерминированный) хаос — сложное непредсказуемое поведение детерминированной нелинейной системы. Оказалось, что простые системы (иногда — вызывающе простые модельные системы), состоящие из малого числа компонентов и детерминированные правилами, не включающими элементов случайности, могут проявлять случайное поведение, достаточно сложное и непредсказуемое, причем случайность носит принципиальный, неустранимый характер. Такого рода случайность, непредсказуемость развития системы понимается как хаос.

Детерминированный хаос сочетает детерминированность и случайность, ограниченную предсказуемость и непредсказуемость и проявляется в столь разных явлениях как кинетика химических реакций, турбулентность жидкости и газа, геофизические, в частности, погодные изменения, физиологические реакции организма, динамика популяций, эпидемии, социальные явления (например, курс акций).

Прежде разделяли детерминированные системы, для которых был возможен прогноз на любой отрезок времени (подобно прогнозу затмений солнца) и стохастические системы, которые можно охарактеризовать лишь статистически.

Теперь же появился новый класс объектов, формально детерминированных, но с поведением, прогнозируемым лишь на ограниченный отрезок времени. Оба полюса — порядок и хаос — не существуют в чистом виде, если понимать упорядоченные системы как полностью регулярные, детерминированные, предсказуемые, а неупорядоченные системы как совершенно нерегулярные, случайные, непредсказуемые. Примером систем с высокой степенью порядка и стабильности служат кристаллы; на противоположном полюсе располагается такие хаотические системы как газы.

Можно напомнить, что основы однозначного детерминизма в квантовой механике были подорваны принципом неопределенности В. Гейзенберга, устанавливающим невозможность измерения с заданной точностью одновременно координаты и импульса элементарной частицы.

Теория динамического хаоса уничтожила разрыв между классической динамикой и статистической физикой: регулярное движение становится стохастическим вследствие всегда присутствующих небольших флуктуаций.

Эволюция системы математически описывается векторным полем в фазовом пространстве — абстрактном пространстве динамических переменных системы, векторном поле в координатах переменных.

Точка фазового пространства задает состояние системы, вектор в этой точке указывает направление изменения системы. Кривые последовательных состояний процесса, создаваемые изменением положения точки в фазовом пространстве, называются фазовыми траекториями, а их совокупность — фазовым портретом системы.

На рисунке показаны фазовые портреты (нижний ряд) для системы с затухающими колебаниями (траектория, стремящаяся к положению равновесия), с постоянными колебаниями (замкнутая кривая) и более сложный случай системы, колеблющейся в лишенном строгой периодичности режиме. Установившиеся режимы движения, иными словами, множество точек (в простейшем случае — одна точка) в фазовом пространстве системы, к которым стремятся ее траектории, получили название аттракторов — они как бы привлекают, притягивают траектории в фазовом пространстве. В первом случае аттрактором оказывается неподвижная точка, во втором — предельный цикл, в третьем же — так называемый странный, или хаотический аттрактор.

Таким образом, аттракторы — геометрические структуры, характеризующие поведение системы в фазовом пространстве после достаточно длительного периода времени. Хаотические, странные аттракторы соответствуют непредсказуемому поведению систем, не имеющих строго периодической динамики, это математический образ детерминированных непериодических процессов. Странные аттракторы структурированы и могут иметь весьма сложные и необычные конфигурации в трехмерном пространстве.

Впервые построение странного аттрактора как решение системы дифференциальных уравнений осуществил в работе по компьютерному моделированию термоконвекции и турбулентности в атмосфере американский метеоролог Э. Лоренц.

Аттрактор Лоренца. Конечное состояние системы Лоренца чрезвычайно чувствительно к начальному состоянию. Размерность странного аттрактора отлична от обычной, или топологической. Позже странные аттракторы, траектории которых при последовательных вычислениях компьютера бесконечно расслаиваются, расщепляются, были отождествлены с фракталами.

Предсказуемость положения точки в фазовом пространстве странного аттрактора сильно ограничена. 10 000 «меченых» точек сначала движутся по близким траекториям, но с течением времени их траектории расходятся по двум ветвям аттрактора и настолько «размазываются» по всему аттрактору, что точное предсказание положения какой-либо отдельной точки в данной системе становится невозможным — возможно лишь статистическое предсказание в пределах системы аттрактора

Это иллюстрация динамического хаоса в данной системе с ограниченной предсказуемостью и принципиальной невозможностью точного прогноза ввиду случайности выбора траектории движения каждой точки по одной из двух ветвей аттрактора. Расхождение соседних траекторий приводит к неопределенности положения точки через некоторое время, создавая «облако неопределенности». Поведение системы предсказуемо на малом отрезке времени и непредсказуемо на достаточно большом отрезке — система начинает вести себя как хаотическая, для которой возможно лишь статистическое описание.

Таким образом, системы, поведение которых детерминируется правилами, не включающими случайность, с течением времени проявляют непредсказуемость за счет нарастания, усиления, амплификации малых неопределенностей, флуктуаций.

Наглядный образ системы с нарастанием неопределенности — так называемый биллиард Синая: достаточно большая последовательность соударений шаров неизбежно ведет к нарастанию малых отклонений от исчисляемых траекторий за счет не идеально сферической поверхности реальных шаров, не идеально однородной поверхности сукна, что ведет к непредсказуемости поведения системы.

Возможность предсказаний — одна из основных целей науки. До появления работы Э. Лоренца полагали, что сбор и обработка достаточно большого объема информации обеспечит точность долгосрочного прогнозирования погоды. Теперь представление об однозначной детерминированности сменилось пониманием принципиальной непредсказуемости поведения многих систем на достаточно большом отрезке времени, выяснились ограничения прогностических моделей, предсказуемая непредсказуемость динамики поведения сложных систем: предсказание границ, но не положения точки в их пределах.

Каскад следующих одна за другой бифуркаций существенно изменяет систему. Вероятность обратного хода событий крайне низка, эволюция системы становится необратимой. Необратимость, однонаправленность процессов эволюции и онтогенеза хорошо известна биологам. Необратимые процессы в открытых системах порождают высокие уровни организации, например, диссипативные структуры.

Возникает новая интерпретация второго закона термодинамики: энтропия — не просто безостановочное соскальзывание к однородному состоянию, лишенному организации; энтропия может порождать порядок.

Итак, нелинейные детерминированные системы, состоящие из немногих простых компонентов, могут вести себя неупорядоченно, хаотически.

Хаотические системы чувствительны к малым воздействиям, как начальным, так и во всех точках движения. В хаотическом мире трудно предсказать, какие вариации возникнут в данное время и в данном месте, ошибки и неопределенность нарастают экспоненциально с течением времени.

Э. Лоренц назвал это явление эффектом бабочки: бабочка, взмахивающая крыльями в Айове, может вызвать лавину эффектов, которые могут достигнуть высшей точки в дождливый сезон в Индонезии. Полное предсказание становится в принципе невозможным.