Задачи Дирихле и Неймана
Отметим, что теоремы единственности мы доказали для ограниченной области (внутренняя краевая задача). Для внешней краевой задачи также можно сформулировать аналогичные теоремы существования и единственности, но они имеют более сложный характер. Предположим, что существуют две функции и, удовлетворяющие условию задачи. Их разность также удовлетворяет уравнению Лапласа и нулевому граничному условию. Читать ещё >
Задачи Дирихле и Неймана (реферат, курсовая, диплом, контрольная)
Рассмотрим задачу нахождения решения уравнения Лапласа.
в области Т с заданным значением функции на границе области S:
.
Эта задача называется задачей Дирихле. Она часто встречается в математической физике.
Теорема 1 (теорема единственности). Уравнение Лапласа имеет единственное решение в области Т, на границе S которой функция принимает заданное значение.
Доказательство. Требуется найти решение уравнения Лапласа.
с граничным условием.
.
Предположим, что существуют две функции и, удовлетворяющие условию задачи. Их разность также удовлетворяет уравнению Лапласа и нулевому граничному условию.
.
На основании Следствия 2 имеем.
.
т.е. функции и совпадают.
Аналогично можно сформулировать задачу Неймана: Найти решение уравнения Лапласа
.
для функции, имеющей на границе заданное значение нормальной производной.
.
Теорема 2. Все решения задачи Неймана могут отличаться только на постоянную величину.
Доказательство. Требуется найти решение уравнения Лапласа с граничным условием.
.
Предположим, что существуют две функции и, удовлетворяющие условию задачи. Их разность также удовлетворяет уравнению Лапласа и нулевому граничному условию.
.
Запишем первую формулу Грина.
.
в которой положим.
.
Учитывая условия.
и ,.
получим.
.
Отсюда следует.
.
Отметим, что теоремы единственности мы доказали для ограниченной области (внутренняя краевая задача). Для внешней краевой задачи также можно сформулировать аналогичные теоремы существования и единственности, но они имеют более сложный характер.