Функциональные ряды. 
Числовые и функциональные ряды

Для функциональных рядов вида.

можно найти область сходимости, т. е. множество значений х, при подстановке каждого из которых в полученный числовой ряд будет сходящимся.

Для определения области сходимости можно воспользоваться признаком Даламбера, т. е. найти.

.

В таком случае значения х, принадлежащие области сходимости, являются решениями неравенства |f (x)|<1. Так как при |f (x)|=1 признак Даламбера не дает ответа на вопрос о сходимости числового ряда, решения уравнения |f (x)| =1 нужно рассматривать отдельно.

Пример 9. Найти область сходимости функционального ряда.

.

Решением неравенства.

является интервал (-2;2).

Исследуем сходимость ряда на границах: при х=-2 и при х=2.

Если х=-2, то ряд.

расходится, так как не выполнено необходимое условие сходимости. Тот же результат получим при х=2. Следовательно, областью сходимости ряда является интервал (-2,2).

СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ

Частный случай функциональных рядов представляют степенные ряды вида.

.

где. Область сходимости такого ряда представляет собой интервал (), возможно, включающий границы. Величина R называется радиусом сходимости степенного ряда и определяется по формуле Даламбера:

или по формуле Коши-Адамара.

.

Пример 10.

Найти область сходимости степенного ряда.

Используем формулу Коши-Адамара.

.

Область сходимости имеет вид.

Проверим сходимость ряда на границах области: при.

числовой ряд.

расходится, т.к. не выполнено необходимое условие сходимости. Аналогичный результат получим при.

.

Следовательно, областью сходимости данного ряда является интервал.

.