Базисные функции вейвлет-преобразованияю

Базисными функциями вейвлет-преобразований могут быть самые различные функции с компактным носителем — модулированные импульсами синусоиды, функции со скачками уровня и т. п. Они обеспечивает хорошее отображение и анализ сигналов с локальными особенностями, в том числе со скачками, разрывами и перепадами значений с большой крутизной.

Следует различать вейвлеты по целевым задачам вейвлетных преобразований с позиций декомпозиции — реконструкции сигналов. Было бы желательно иметь такое вейвлет-преобразование сигналов, которое обеспечивало бы полную информационную эквивалентность вейвлетного спектра сигналов временному (динамическому, координатному) представлению, и, соответственно, однозначность как декомпозиции сигналов, так и их реконструкции из вейвлетных спектров. Однако это возможно только при использовании ортогональных и биортогональных вейвлетов. Этим вейвлетам и будет уделено основное внимание. Для качественного анализа сигналов и локальных особенностей в сигналах может применяться более обширная номенклатура вейвлетных функций, которые хотя и не обеспечивают реконструкцию сигналов, но позволяют оценить информационное содержание сигналов и динамику изменения этой информации.

Определение вейвлета. К вейвлетам относятся локализованные функции, которые конструируются из одного материнского вейвлета ?(t) (или по любой другой независимой переменной) путем операций сдвига по аргументу (b) и масштабного изменения (а):

?ab (t) = (1/) ?((t-b)/a), (a, b) R, ?(t)L2®.

где множитель (1/) обеспечивает независимость нормы функций от масштабного числа 'a'.

Непрерывное вейвлет-преобразование сигнала s (t)L2®, которое применяется для качественного частотно-временного анализа, по смыслу соответствует преобразованию Фурье с заменой гармонического базиса exp (-j?t) на вейвлетный ?((t-b)/a):

С (a, b) = s (t), ?ab (t) = (1/)s (t)???((t-b)/a) dt, (a, b) R, a0.

Вейвлетный масштабно-временной спектр С (a, b) в отличие от фурье-спектра является функцией двух аргументов: масштаба вейвлета 'а' (в единицах, обратных частоте), и временного смещения вейвлета по сигналу 'b' (в единицах времени), при этом параметры 'а' и 'b' могут принимать любые значения в пределах областей их определения.

Для количественных методов анализа (декомпозиция сигналов с возможностью последующей линейной реконструкции сигналов из обработанных вейвлет-спектров) в качестве вейвлетных базисов можно использовать любые локализованные функции ?(t), если для них существуют функции-двойники ?#(t), такие, что семейства {?ab (t)} и {??ab (t)} могут образовывать парные базисы функционального пространства L2®. Вейвлеты, определенные таким образом, позволяют представить любую произвольную функцию в пространстве L2® в виде ряда:

s (t) = С (a, b)???ab (t), (a, b) I,.

где коэффициенты С (a, b) — проекции сигнала на вейвлетный базис пространства, которые определяются скалярным произведением С (a, b) = s (t), ?ab (t) =s (t)??ab (t) dt.

Если вейвлет ?(t) обладает свойством ортогональности, то ??(t)? ?(t) и вейвлетный базис ортогонален. Вейвлет может быть неортогональным, однако если он имеет двойника, и пара (?(t), ??(t)) дает возможность сформировать семейства {?mk (t)} и {??zp (t)}, удовлетворяющие условию биортогональности на целых числах I:

?mk (t), ??zp (t) = ?mz· ?kp, m, k, z, p I,.

то возможно разложение сигналов на вейвлетные ряды с обратной формулой реконструкции.