Введение. 
Стабилизация нелинейной модели маятника

Проблемы демпфирования и стабилизации динамических систем [1, 2] относятся к центральным проблемам теории управления [3−5]. Классические методы решения этих проблем основаны на классических результатах теории устойчивости (метод функций Ляпунова [6], частотные методы [7] и т. п.). Многие из известных методов предполагают заданной структуру обратной связи с точностью до нескольких параметров и сводят задачу стабилизации к подбору таких значений параметров, при которых выполняются достаточные условия асимптотической устойчивости. При таком подходе, как правило, трудно учесть ограничения на стабилизирующие воздействия. Однако из-за требований практики наличие таких ограничений стало характерным для современных постановок задач. В связи с этим с начала последнего десятилетия XX века стали систематически исследовать указанные проблемы для линейных систем с ограничениями. При этом оказалось, что при использовании (для учета ограничений на управляющие воздействия) операции «насыщения» (срезки) для классических линейных стабилизирующих обратных связей получаются малые области притяжения состояний равновесия замкнутых систем. Ограничения на стабилизирующие обратные связи учитываются и в рамках систем с переменной структурой [8, 9]. С созданием теории оптимального управления появилась возможность естественным образом учитывать ограничения на управления, поскольку указанные ограничения являются неотъемлемым элементом современных задач оптимального управления. При этом можно не задавать структуру обратных связей, получать большие области притяжения и придавать переходным процессам дополнительные полезные качества.

В [10, 11] (на основе рассмотрения линейной задачи оптимального управления) предложен новый подход к проблеме синтеза оптимальных систем, который в [12] был использован для построения стабилизаторов линейных систем. Новый подход, в частности, позволяет учитывать любые ограничения. В [13, 14] подход [10−12] обобщается на случай нелинейных систем. При этом используется вспомогательная задача оптимального управления с негладким критерием качества. А в [15] этот подход применяется для решения задач с квадратичным критерием качества.