Универсальный метод нахождения границ многочлена. 
Метод Ньютона

Одним из наиболее распространенных методов поиска корней уравнений является метод Ньютона и его модификации. Пусть требуется решить уравнение. Будем считать, что x является решением уравнения. Разложим функцию f (x) в ряд в точке x0 близкой к точке x и ограничимся только первыми двумя членами разложения.

.

Поскольку x — корень уравнения, то. Следовательно,.

.

Таким образом, если нам известно приближенное значение корня уравнения, то полученное уравнение позволяет его уточнить. Понятно, что процесс уточнения можно повторять многократно, до тех пор, пока значение функции не будут отличаться от нуля на величину меньшую, чем заданная точность поиска. Очередное k-е приближение находится по формуле:

.

Ограничившись в разложении только первыми двумя членами, мы фактически заменили функцию f (x) на прямую линию, касательную в точке x0, поэтому метод Ньютона еще называют методом касательных. Далеко не всегда бывает удобно находить аналитическое выражение для производной функции. Однако, в этом и нет особой необходимости: поскольку на каждом шаге мы получаем приближенное значение корня, можно для его вычисления использовать приближенное значение производной. [6, c. 10].

.

В качестве малой величины можно взять, например, заданную точность вычислений, тогда расчетная формула примет вид:

(1.1).

С другой стороны, для вычисления производной можно воспользоваться значениями функции, полученными на двух предыдущих шагах,.

(1.2).

В таком виде метод называется методом секущих (secant method). При этом, однако, возникает проблема с вычислением первого приближения. Обычно полагают, что, то есть первый шаг вычислений проводится с использованием формулы (1.1), а все последующие — с использованием формулы (1.2). Именно эта вычислительная схема реализована в пакете Mathcad. Используя метод секущих, мы не можем гарантировать, что корень находится между двумя последними приближениями. Можно, однако, для вычисления очередного приближения использовать границы интервала, на котором функция меняет знак. Такой метод называется методом хорд (false position method).