Ветвящиеся случайные процессы в квантовой оптике

Аннотация

Излагаются методы теории ветвящихся случайных процессов с непрерывным временем, применяемые в задачах квантовой оптики со счетным числом фотонов. Переходные вероятности ветвящихся процессов (распределения по числу фотонов) определяются из решения некоторой системы дифференциально-разностных уравнений. Обсуждается вывод данной системы, её основные свойства и частные методы решения.

Ключевые слова: методы теории ветвящихся случайных процессов с непрерывным временем, задачи квантовой оптики со счетным числом фотонов.

Ветвящийся процесс — это случайный процесс, описывающий широкий круг явлений, связанных с размножением и превращением каких-либо объектов.

Термин «ветвящиеся процессы» был предложен А. Н. Колмогоровым в начале 1947 года и в силу своей удачности пришёл в другие языки в виде кальки: англ. branching processes, нем. Verzweigungsprozesse, В связи с проведением исследований, связанных с разработкой атомного оружия, работы по теории ветвящихся процессов были засекречены на пять лет, в следствие опасений, что теория может служить общей моделью неких ядерных цепных реакций, пока академик Я. Б. Зельдович не дал заключение, что работы могут быть опубликованы. Основной вклад в исследование ветвящихся случайных процессов внес Борис Александрович Севастьянов (29 сентября 1923, Москва — 30 августа 2013, там же) — советский и российский математик, доктор физико-математических наук, член-корреспондент РАН (1984) [1], а также Андрей Михайлович Зубков и другие его ученики (обзор исследований в данной области математики [2]).

Ветвящиеся случайные процессы могут быть эффективно использованы при описании процессов в нелинейной оптике, кинетики лазерных сред и широкого круга явлений в физике, химии, биологии и других областях, где ситуация связана с размножением и превращением большого числа объектов (точнее бесконечного, но счетного множества). В работе [3] ветвящиеся случайные процессы были применены к моделям множественной генерации адронов.

Квантование поля излучения не только сохраняет классическую интерпретацию интерференционных экспериментов, но также дает и другой их тип: так называемые эксперименты со счетом фотонов. Адекватное описание данного типа экспериментов можно получить с помощью ветвящихся случайных процессов [4]. В общем случае изучение ветвящихся процессов ведется с помощью производящих функций или функционалов, для которых выводятся нелинейные дифференциальные и интегро-дифференциальные уравнения. Групповая структура ветвящихся случайных процессов определяется полугруппами, т. е. множествами с ассоциативной бинарной операцией и единицей, но не допускающими, в отличие от групп, обращения элементов.

Основным математическим предположением, выделяющим ветвящиеся процессы в отдельный класс, является предположение независимости превращения объектов от предыстории и друг от друга.

Однородный во времени ветвящийся процесс с однотипными объектами определяется как Марковский процесс со счетным числом состояний в фазовом пространстве (пространстве Фока), переходные вероятности которого удовлетворяют дополнительному условию ветвления:

(1).

тем самым ветвящийся процесс представим в виде каскада элементарных процессов происходящих случайным образом.

Вероятность есть вероятность того, что за время объектов превращаются в объектов, т. е.. Марковость процесса означает, что переходные вероятности удовлетворяют условию.

(2).

тем самым превращение объектов не зависит от предыстории.

Кроме того, переходные вероятности должны быть неотрицательны и нормированы.

;(3).

Начальные условия для ветвящегося процесса имеют вид:

(4).

Ветвящиеся процессы разделяются на процессы с дискретным временем (процессы Гальтона — Ватсона) и процессы с непрерывным временем. Подчеркнем, что речь идет о Марковском времени, т. е. о параметре развития процесса, под которым можно понимать как реальное время, так и пространственную область, в которой разыгрывается процесс, энергию источника, переходящую во вторичные частицы, и т. д. В теории излучения наиболее удобно рассматривать ветвящиеся процессы с непрерывным временем, а состояние представляет собой источник + фотонов. Таким образом, переходные вероятности можно обозначать.

Начальное условие.

(5).

означает, что при фотонов нет и распределение по их числуобразное. Различные ветвящиеся процессы соответствуют эквиареальным (сохраняющим площадь) преобразованиям (деформациям) данного распределения.

Основным аналитическим аппаратом в теории ветвящихся процессов являются производящие функции:

(6).

Производящая функция определена для всех из единичного круга комплексной плоскости и аналитична внутри этого круга. Условия нормировки (3) и начальные условия (5) превращаются в следующие соотношения для производящей функции:

(7).

Каждому распределению переходных вероятностей соответствует только одна производящая функция и, наоборот, каждой функции, аналитичной внутри единичного круга, соответствует только одно распределение вероятностей, которые могут быть определены следующим образом:

(8).

Можно показать, что производящая функция суммы двух независимых случайны величин (независимых источников излучения) равна произведению производящих функций данных случайных величин. Распределение вероятностей в данном случае представляет собой дискретную свертку.

(9).

Производящая функция задает также факториальные моменты распределения вероятностей, корреляционные параметры (проинтегрированные корреляционные функции) и вероятности образования кластеров (объектов, распадающихся по истечению некоторого времени на несколько вторичных частиц и, таким образом, учитывающих в процессах многочастичной генерации корреляцию этих вторичных частиц):

; (10).

С теоретико-вероятностной точки зрения ветвящийся процесс можно однозначно определить как переходными вероятностями, так и производящей функцией, либо набором его моментов (факториальных, центральных, начальных, корреляционных параметров и т. п.).

Для вывода системы дифференциально-разностных уравнений переходных вероятностей выделим в интервале времени ветвящегося процесса небольшой отрезок и рассмотрим изменение переходных вероятностей за этот отрезок времени. Очевидно, что это изменение будет определяться следующими элементарными процессами:

• — некогерентного излучения. Фотоны излучаются независимо с вероятностью за единицу времени ;
• — когерентного излучения. Одним или несколькими источниками испускаются (два и более) фотонов с вероятностью за единицу времени ;
• — индуцированного излучения, с вероятностью умноженной на число фотонов в системе;
• — поглощения, с вероятностью умноженной на число фотонов в системе.

С учетом всех элементарных процессов имеем для следующее выражение:

(11).

В этом соотношении первый член соответствует ситуации, когда в течение отрезка времени не происходит изменения числа фотонов. Вероятность такого «элементарного процесса» определяется как вероятность противоположного события по отношению ко всем другим элементарным процессам.

Производя элементарные преобразования и переходя к пределу, получаем из соотношения (11) следующее дифференциально-разностные уравнение для :

(12).

При выводе данного уравнения значения переменной никоим образом не фиксировалось, поэтому аналогичное уравнение справедливо для любого значения, и для полного набора переходных вероятностей имеет место бесконечная система. фотон дифференциальный гальтон Решение данной системы может быть получено методом последовательных подстановок, когда вначале решается уравнение для, затем решение подставляется в уравнение для и решается это уравнение и т. д. В некоторых случаях эффективно также преобразование Лапласа, которое переводит систему дифференциальных уравнений в систему алгебраических уравнений.

• 1. Севастьянов А. Ветвящиеся процессы. Наука, М., 1978, 436 с.
• 2. Прохоров Ю. Теория вероятностей. Наука, М., 1981, 496 с.
• 3. Ватутин А., Зубков А. М. Ветвящиеся процессы. I // Итоги науки и техники. Серия «Теория вероятностей. Математическая статистика. Теоретическая кибернетика». — М.: ВИНИТИ, 1985. — Т. 23. — С. 3−67.
• 4. Душутин Н. К., Мальцев М. Ветвящиеся процессы и модели множественной генерации адронов. //Сообщения ОИЯИ, Р2−89−375, 1989, 26с.
• 5. Душутин Н. К., Ясюкевич Ю. Излучение электромагнитных волн. Иркутск: Изд-во ИГУ, 2012, 227 с.