Закон Паскаля.
Гидростатика
Решение. Вследствие трения о стенки сосуда жидкость будет вращаться с такой же угловой скоростью. Жидкость будет находиться в относительном покое. Поэтому при решении задачи применимы уравнения равновесия. Следовательно, и правая часть должна быть также полным дифференциалом, для этого необходимо и достаточно, при постоянном, чтобы существовала функция U (x, y, z) такая что. Из массовых сил… Читать ещё >
Закон Паскаля. Гидростатика (реферат, курсовая, диплом, контрольная)
Если в жидкости взять любую точку, то на основании основного уравнения гидростатики.
давление в этой точке равно давлению, приложенному к свободной поверхности, плюс, где — глубина точки.
Таким образом мы получили закон Паскаля.
Закон Паскаля. Давление, приложенное к свободной поверхности, передается во все точки жидкости без изменения.
Дифференциальное уравнение равновесия жидкости
Запишем уравнение Эйлера.
Если жидкость покоится.
Дифференциальные уравнения равновесия жидкости в проекции на оси декартовой системы координат могут быть записаны так.
Здесь Fx, Fy, Fz — проекции на оси x, y, z сил, действующих на единицу массы рассматриваемой жидкости.
Умножая давления соответственно на dxdydz и складывая их, получаем.
Левая часть уравнения представляет полный дифференциал.
следовательно, и правая часть должна быть также полным дифференциалом, для этого необходимо и достаточно, при постоянном, чтобы существовала функция U (x, y, z) такая что.
,.
Имеем Проинтегрировав, получим.
.
где С — постоянная интегрирования.
Если в какой-либо точке известно давление po и постоянная функция Uo, то.
.
из интеграла имеем.
В частности, когда жидкость находится в поле сил тяжести.
,.
Следовательно,.
Уравнение для давления принимает вид.
.
Свободная поверхность жидкости плоская z=const. При равновесии жидкости в поле земного тяготения поверхности уровня представляют собой горизонтальные плоскости.
Рассмотрим примеры.
Пример 1. Определить уравнение свободной поверхности жидкости в сосуде, движущемся горизонтально с ускорением а.
Решение. На жидкость действуют сила тяжести и сила инерции, т. е.
, .
Рис. 17.
Имеем.
.
Откуда.
— уравнение прямой.
Следовательно, свободная поверхность представляет собой плоскость, наклоненную к горизонту под углом, который определяется из равенства.
Пример 2. Определить уравнение свободной поверхности жидкости в сосуде, вращающемся вокруг вертикальной оси с угловой скоростью .
Решение. Вследствие трения о стенки сосуда жидкость будет вращаться с такой же угловой скоростью. Жидкость будет находиться в относительном покое. Поэтому при решении задачи применимы уравнения равновесия.
Из массовых сил на жидкость действует центробежная сила и сила тяжести. Центробежная сила, действующая на массу m, находится на расстоянии r от оси вращения (рис. 18).
Проекции силы на оси, отнесенные к единице массы, будут.
,.
Тогда.
.
Откуда.
.
т.е. свободная поверхность — параболоид вращения.