Общие теоремы динамики точки

Количество движения точки. Импульс силы

Количество движения материальной точки называется вектор, равный произведению массы точки на ее скорость, т. е.

. (13).

Количество движения материальной точки является динамической характеристикой движения точки, единицей измерения которого в системе СИ служит .

Элементарным импульсом силы называется векторная величина, равная произведению силы на элементарный промежуток времени dt:

. (14).

Рассмотрим теперь движение материальной точки за конечный промежуток времени .

Импульс силы за этот промежуток времени вычисляется как предел интегральной суммы элементарных импульсов, т. е.

. (15).

Следовательно, импульс силы за промежуток времени равен определенному интегралу от элементарного импульса, взятому в пределах от нуля до .

Если сила постоянна, то, в этом случае модуль .

Проекции импульса силы на прямоугольные оси координат выражаются формулами.

. (16).

Единица импульса силы — Н· с.

Теорема об изменении количества движения точки

Уравнение (3), выражающее основной закон динамики, можно представить в виде.

. (17).

Формула (17) выражает теорему об изменении количества движения точки в дифференциальной форме: производная по времени от количества движения точки равна сумме действующих на точку сил.

Путь в начальный момент времени t = 0 скорость точки равна, а в момент равна .

Умножим тогда обе части равенства (17) на dt, получим.

.

Проинтегрируем обе части равенства. При этом справа пределами интеграла буду 0 и t1, а слева пределами интеграла будут значения скорости и, т. е.

.

В результате, в силу формулы (15) получим.

. (18).

Уравнение (18) выражает теорему об изменении количества движения точки в конечном виде: изменение количества движения точки за конечный промежуток времени равно сумме импульсов сил, приложенных к точке, за тот же промежуток времени.

Проецируя векторное равенство (18) на координатные оси, получим.

. (19).

Заметим, что при прямолинейном движении, теорема выражается первым из этих уравнений.

Задача 13. Грузу, имеющему массу m и лежащему на горизонтальной плоскости, сообщают (толчком) начальную скорость. Последующее движение груза тормозится постоянной силой. Определить через сколько времени груз остановится.

Решение. Выберем начало координат в начальном положении груза и направим ось Ох в сторону движения (рис. 77). Составляем первое из уравнений (19).

. (а) В данном случае (- скорость в момент остановки), а. На тело действуют сила тяжести, реакция плоскости и тормозящая сила. Проекции этих сил на ось Ох имеют значения.

, .

Так как сила постоянна, то.

.

где t1 — время торможения.

Рис. 2.

Подставляя эти данные в уравнение (а), получим, откуда.

.

Таким образом, время торможения растет пропорционально начальной скорости.