Свойства функции распределения

Свойство 1. Функция распределения любой случайной величины, есть неубывающая функция.

Зная функцию распределения случайной величины X, можно определить вероятность неравенства x₁X₂ при любых . В самом деле, если через A обозначить событие, состоящее в том, что X, примет значение, меньшее чем x₂, через В—событие, состоящее в том, что X < x₁, наконец, через С — событие x₁X₂,то, очевидно, имеет место следующее равенство:

Так как события В и С несовместимы, то Р (А)=P (B)+Р (C).

Но Поэтому Так как, по определению, вероятность есть неотрицательное число, то из равенства (3.2.3) следует, что при любых x₁ и (x₂>x₁) имеет место неравенство что и требовалось доказать.

Свойство 2.. Так как, функция распределения, то согласно свойств вероятности при любом х удовлетворяет неравенству Свойство 3. Функция распределения может иметь не более чем счетное множество скачков.

Мы скажем, что функция распределения F (х) имеет при х=x₀ скачок, если.

В самом деле, скачков размера , функция распределения может иметь не более одного, скачков размера от одной четвертой до половины — не более трех. Вообще скачков размера от до может быть не более чем. Совершенно ясно, что мы можем пронумеровать все скачки, расположив их по величине, начиная с больших значений и повторяя равные значения столько раз, сколько скачков этой величины имеет функция F (х).

Свойство 4. . Определим и равенствами.

и докажем, что .

Действительно, так как неравенство X< + достоверно, то.

Обозначим через событие, состоящее в том, что. Так как событие, эквивалентно сумме событий _, то на основании расширенной аксиомы сложения. Следовательно, при.

Отсюда, принимая во внимание неравенства (3.2.5), заключаем, что при .

Свойство 5. Функция распределения непрерывна слева.

Выберем какую-нибудь возрастающую последовательность, сходящуюся к x.

Обозначим через A_n, событие. Тогда ясно, что , при i>j, и произведение всех событий A_n, есть невозможное событие. По аксиоме непрерывности должно быть что и требовалось доказать.