Свободный электрон. 
Концентрация электронов и дырок в р-полупроводнике

Рассмотрим свойства электрона, находящегося в свободном пространстве. Станционарное (не зависящее от времени) состояние электрона определяется его волновой функцией, координатная часть которой описывает пространственное распределение плотности электронного облака, причем квадрат модуля функции дает вероятность нахождения электрона в единичном объеме около точки с радиусом-вектором. Координатная часть волновой функции находится из решения станционарного уравнения Шредингера, которое в отсутствие внешних полей имеет вид:

(2).

где =1.054* Дж*с — модифицированная постоянная Планка (=h/2);

m =9.11* кг — масса свободного электрона; - оператор Лапласа;

Е — собственное значение энергии электрона.

Решением уравнения (2) является плоская волна с постоянной амплитудой А:

(3).

где — импульс электрона, — волновой вектор; i — мнимая единица.

Из выражения (3) видно, что для любого, то есть вероятность найти электрон в любой точке пространства неизменна. Это означает, что в свободном пространстве, где ВСЕ точки эквивалентны и внешних полей нет, электрон перемещается свободно.

Электрон в идеальном кристалле.

Идеальная кристаллическая решетка представляет собой бесконечную систему узлов, расположенных в пространстве строго периодично с периодом .

В результате взаимодействия соседних атомов энергетические барьеры для электронов уменьшились по высоте и приобрели конечную ширину.

В силу периодичности потенциального поля электрон должен с равной вероятностью обнаружиться около любого узла. Это означает, что он может свободно перемещаться по кристаллу без затрат энергии. Этот факт объясняется туннелированием электрона, связанным с перекрытием волновых функций.

Туннелирование является чисто квантовым эффектом и объясняется на основе решения уравнения Шредингера для электрона в потенциальной яме с барьерами конечной ширины и высоты.

Рассмотрим для простоты область одномерного пространства, в которой потенциальная энергия электрона постоянна и имеет величину .

Станционарное уравнение Шредингера имеет вид:

(4).

Решением уравнения (4) является сумма двух плоских волн. В одномерном случае это решение имеет вид:

(5).

Где .

Характер решения зависит от знака разности. В интересующем нас случае энергия электрона меньше высоты барьера () и физически допустимым решением является функция, убывающая по экспоненте в области барьера.

Таким образом, имеет место проникновение электрона в облать барьера, причем глубина проникновения возрастает с уменьшением высоты барьера. Если ширина барьера порядка величины, то существует конечная вероятность найти электрон по другую сторону барьера, что и соответствует явлению туннелирования.

U x.

Распределение потенциальной энергии электрона в идеальном кристалле.

U.

x.

Потенциальная энергия электрона.

x.

Волновая функция электрона в области барьера Решение уравнения Шредингера для идеального кристалла. Волна Блоха В кристалле поведение электронов определяется уравнением Шредингера, которое в станционарном случае имеет вид:

(6),.

где — оператор Гамильтона; Е — собственные значения энергии принадлежащие собственным волновым функциям .

Оператор имеет сложный вид и включат в себя кинетическую энергию электронов, кинетическую энергию ядер, потенциальную энергию попарного взаимодействия электронов, потенциальную энергию попарного взаимодействия ядер, потенциальную энергию взаимодействия электронов с ядрами. Таким образом, общее количество n независимых переменных в уравнении очень велико и составляет порадка для объема в 1 см. куб.

Путем ряда прибижений задача приводится к задаче о движении одного электронав периодическом потенциальном поле кристалла :

(7).

Здесь учтено, что массы электрона и атомного остатка существенно различны, то есть электроны фактически движутся в потенциальном поле неподвижных ионов (адиабатическое приближение). Кроме того, взаимное влияние электронов друг на друга представлено в виде так называемого самосогласованного поля, то есть каждый этектрон движется в поле всех остальных электронов, которое, в свою очередь, зависит от движения данного электрона.

В уравнении (7) потенциальная энергия U® не зависит от спина электрона, поэтому каждому собственному значению энергии Е отвечают два состояния электрона.

Решением уравнения (7) является плоская волна, модулированная с париодом решетки, — функция или ВОЛНА БЛОХА:

(8), где — некоторая функция, периодическая с периодом решетки; - некоторый вектор, имеющий размерность обратной длинны. Вектор в уравнении (8) играет роль, аналогичную вектору в кравнении (3) и поэтому называеться КВАЗИВОЛНОВЫМ ВЕКТОРОМ.

Квазиимпульс. Зоны Бриллюэна Различие волновых функций свободного электрона и электрона в идеальном кристалле определяеться свойствами пространства, в котором находиться электрон.

В случае свободного электрона все точки пространства эквивалентны и амплитуда плоской волны постоянна.

В идеальном кристалле присутствует периодическое потенциальное поле и эквивалентны только точки, находящиеся на расстоянии периода решетки. При этом амплитуда волны (8) оказываеться модулированной с периодом решетки.

Свойства симметрии пространства приводят к повлению законов сохранения физических величин. Например, импульс частицы сохраняеться при движении в пространстве с постоянной потенциальной энергией, то есть закон сохранения импульса отражает однородность пространства.

Идеальная кристаллическая решетка не является однородной, но имеет трансляционную симметрию. Этой симметрии должна соответствовать некая физическая величина, сохраняющаяся при движении электрона в идеальном кристалле. По аналогии с обычным импульсом ее можно назвать квазиимпульсом и определить соотношением .

Рассмотрим движение электрона в идеальном кристалле при наличии постоянного электрического поля. Электрон можно представить как волновой пакет, составленный из функции Блоха (8). В этом случае его скорость распостранения равна групповой скорости пакета, определяемой как градиент частоты в k-пространстве:

(9).

Энергия электрона есть. Отсюда получаем:

(10).

Под действием силы Лоренца энергия электрона изменяеться, причем.

(11).

Отсюда следует, что.

(12).

Уравнение (12) по форме совпадает со вторым законом Ньютона. Принципиальные отличия заключаются в том, что в уравнении (12) — это не полная, а только внешняя сила, а — не импульс, а квазиимпульс электрона. Если рассматривать обычный импульс электрона, то его изменение должно определяться полной силой, действующей на электрон, то есть векторной суммой внешней силы и силы, действующей на электрон со стороны потенциального поля кристалла:

.

Так как поле кристалла не постоянное, а периодическое, то импульс электрона, в отличие от квазиимпульса, не сохраняется при движении в идеальном кристалле.

Из выражения (8) видно, что в кристалле значения квазиимпульса () и () (где iцелое число) эквивалентны.

Поскольку значения компонент квазиимпульса заданы с точностью до константы, все его различные значения оказываються заключенными в некоторых областях, называемых ЗОНАМИ БРИЛЛЮЭНА. Первая зона Бриллюэна, содержащая точку р=0, задается неравенствами:

;

;

.

Объем одной зоны Бриллюэна равен:

. (13).

Вводя характерный размер кристалла и используя периодические граничные условия, можно получить:

Таким образом, для квазиволнового вектора и квазиимпульса существуют дискретные значения. Однако, следовательно, этот спектр — квазинепрерывный. Полное количество значений каждой компоненты квазиимпульса составляет, где N — количество атомов вдоль одной стороны кристалла. Итак, число энергетических состояний в зоне Бриллюэ на для кристалла кубической формы определяется выражением:

(14).

Отсюда видно, что число состояний равно полному количеству атомов в кристалле, причем в каждом энергетическом состоянии могут находиться два электрона с разными спинами.

Если решить уравнение Шредингера (7) для периодически повторяющихся прямоугольных потенциальных барьеров, то получиться решение вида:

(15),.

где , — потолок и дно i-ой разрешенной зоны энергии; - период решетки; знаки `+'и `-`чередуются для соседних зон.

Причины возникновения проводимости в собственном полупроводнике.

Рассмотрим проводимость собственного полупроводника, то есть полупроводника, содержащего атомы только одного типа и свободного от каких-либо примесей.

Энергия валентных электронов, образующих связи в кристалле полупроводника, лежит в валентной зоне.

При температуре Т=0 в зоне проводимости собственного полупроводника электроны полностью отсутствуют. Все электроны находятся в валентной зоне, которая оказывается полностью заполненой. Если говорить о структуре кристалла, то это означает, что все электроны учувствуют в образовании связей. При этом, как было показано выше, слабое электрическое поле не может вызвать электрический ток.

При увеличении температуры растет вероятность перехода электрона из валентной зоны в зону проводимости. Этот переход соответствует разрыву связи в кристалле. При этом образуется свободный электрон в зоне проводимости и незаполненное состояние в валентной зоне, в результате чего может возникать проводимость как в зоне проводимости, так и в валентной зоне.

Процесс образования свободных носителей заряда в полупроводнике называется генерацией.

Понятие дырки При переходе электрона из валентной зоны в зону проводимости (собственная генерация) возможна проводимость как в той, так и в другой зоне.

Если электрон находиться у дна зоны проводимости, то его эффективная масса положительна:

(16).

и он ведет себя как обычная частица с положительной массой и отрицательным зарядом, то есть ускоряется в направлении, противоположном электрическому полю. Поскольку зона проводимости по определению не заполнена полностью, изменение состояния электрона приводит к появлению электрического тока, причем в кристалле этот ток переменный, а в реальном — постоянный.

Ситуация у потолка валентной зоны совершенно иная. Для возникновения проводимости необходимо удалить из этой зоны хотя бы один электрон (например, из состояния). Образовавшееся вакантное место позволяет остальным электронам перемещаться по зоне, создавая электрический ток. В соответствии с формулой (17):

(17).

этот ток равен по величине и противоположен по направлению току, который создавался бы одним электроном в состоянии .

В нормальных условиях вакантное состояние с наибольшей вероятностью находится у потолка валентной зоны. При этом эффективная масса электрона, переходящего в это состояние, отрицательна:

(18).

Влияние потенциального поля кристалла оказывается преобладающим и электрон должен двигаться в направлении внешнего электрического поля.

Закон его движения можно записать в виде:

(19).

Из этого уравнения следует, что ускорение электрона определяется выражением:

(20).

В этом выражении заряд и эффективная масса электрона входят только в виде отношения. Это позволяет избавиться от отрицательной массы путем замены движения электрона с массой перемещением квазичастицы с положительной массой и положительным зарядом e. Такая частица называется ДЫРКОЙ.

Поведение дырки аналогично всплыванию пузырька воздуха в жидкости. При этом реально перемещаются частицы жидкости, опускающиеся вниз под действием силы тяжести и вытесняющие воздух. В то же время для наблюдателя весь сложный процесс перемещения частиц жидкости над пузырьком выглядит как движение самого пузырька вверх.

Перемещение дырки представляет собой результат коллективного перемещения валентных электронов с энергиями, лежащими у потолка валентной зоны, которому в k-пространстве соответствует максимум функции E (k). Поскольку обычно кривизна графика функции E (k) в окрестности максимума меньше, чем в окрестности вышележащего минимума, то в соответствии с формулой.

(21).

эффективная масса свободной дырки в валентной зоне больше эффективной массы свободного электрона в зоне проводимости.

Дырка Причины возникновения проводимости в акцепторном полупроводнике (р-типа) В любом самом чистом полупроводнике всегда существуют примеси.

Если введенная примесь имеет валентность три, то при замещении четырехвалентного атома полупроводника она сразу образует одну незаполненную связь, которая играет роль дырки.

При температуре Т=0 дырка является связанной, хотя энергия связи все же ослаблена за счет диэлектрических свойств кристалла (поляризация) и, как и в случае донорной примеси, значительно меньше ширины запрщенной зоны.

При повышении температуры соседние валентные электроны получают возможность перейти в область дырки и восстановить незаполненную связь, в результате чего дырка перемещается по кристаллу. Появлению свободной дырки соответствует переход электрона из валентной зоны на уровень акцепторной примеси. При дальнейшем повышении температуры увеличивается вероятность перехода электронов из валентной зоны в зону проводимости, то есть возникает собственная проводимость.

Принцип определения концентрации носителей заряда Для получения реальной картины поведения элуктронов в кристалле необходимо знать их распределение по энергетическим уровням. Для этого должны быть известны границы (и) и структура i-ой разрешенной энергитической зоны, то есть зависимость плотности квантовых состояний (с учетом спина) для электронов от их энергии, а также функция распределения электронов по этим квантовым состояниям f (E, T), то есть вероятность того, что электрон имеет определенную энергию. При этом в соответствии с определением понятия функции распределения концентрация электронов определяется выраженим:

(22).

Если известна функция f (E, T) распределения электронов по состояниям, то для полного описания заполнения энергетических зон достаточно указать величину вероятности заполнения некоторого уровня на зонной энергетической диаграмме.

Плотность состояний.

на каждом уровне могут находиться два электрона (принцип Паули);

2) кристалл находиться в термодинамическом равновесии и вероятность заполнения уровней зависит только от энергии Е и температуры Т.

Зависимость Е (р) описываться изотропным параболическим законом:

(23),.

где — граница i-ой зоны, от которой отсчитывается энергия электронов в зоне Это справедливо только для областей, близких к экстремумам зон. В этих областях и лежат значения энергии свободных носителей, которые учувствуют в проводимости.

В соответствии с формулами (13) и (14) объем в зоне Бриллюэна, приходящийся на одно энергетическое состояние (в котором могут находиться два электрона), составляет:

(24),.

где L — размер кристалла по осям координат; - объем кристалла.

Из выражения (24) следует, что число квантовых состояний с учетом спина в объеме зоны Бриллюэна, приходящееся на соответствующий интервал энергий dE и на единицу объема кристалла, есть:

(25),.

где — плотность квантовых состояний, то есть количество квантовых состояний в i-ой разрешенной зоне на единицу интервала энергий в единичном объеме кристалла.

Для расчетов удобно в качестве элемент объема в пространстве квазиимпульсов между двумя изоэнергетическими поверхностями. В соответствии с условием (23) эти поверхности являются сферами и представляет собой объем шарового слоя:

(26),.

причем из (23) следует, что.

(27).

И.

(28).

Из соотношений (25 — 28) получаются выражения для объема шарового слоя плотности квантовых состояний в зоне проводимости:

(29),.

(30).

Аналогично определяется плотность квантовых состояний в валентной зоне:

(31).

Из формул (30) и (31) следует, что плотность состояний меньше в той зоне, в которой располагаются носители с меньшей эффективной массой.

Эффективная масса плотности состояний.

Соотношения (26 — 31) получены при условии изотропной параболической зависимости E (p) (23). В случае анизотропной зависимости эффективные массы электрона различны для разных направлений квазиимпульса и изоэнергетические поверхности имеют форму эллипсоидов:

.

а объем слоя составляет:

(32).

Выражение (32) совпадает с выражением (29) при условии:

.

Величина называется эффективной массой плотности состояний.

Функция распределения Электроны и дырки как частицы с полуцелым спином подчиняются статистике Ферми-Дирака:

(33),.

где F — уровень Ферми; E — энергия электрона; Т — абсолютная температура. Из формулы (33) понятно, что F есть уровень энергии, вероятность заполнения которого равна Ѕ.

Ѕ.

F E.

Функция распределения Ферми-Дирака при Т=0 () и при Т>0 ().

При температуре Т=0 функция распределения имеет вид ступеньки. При этом уровень Ферми определяет границу заполнения разрешенных состояний электронами, так как для ЕF она равна 0. В металлах, где уровень Ферми лежит в разрешенной зоне, он просто являеться самым верхним заполненным уровнем.

При температуре T>0 ступенька размывается. При этом все графики для всех температур проходят через точку, соответствующую уровню Ферми.

Если уровень Ферми лежит в заполненной зоне и удален от границы разрешенной зоны (или) больше, чем на 2…3 kT, то и распределение (33) переходит в распределение Максвелла-Больцмана:

(34).

В этом случае говорят, что электронный газ не вырожден.

В противном случае, когда уровень Ферми расположен близко от границы соответствующей расзрешающей зоны, электронный газ описывается распределением Ферми-Дирака и считается выродженным.

Концентрация электронов и дырок в зонах В соответствии с формулой (22) концентрация электронов в зоне проводимости определяется следующим выражением.

.

При вычислении интеграла ограничимся случаем невырожденного полупроводника.

Будем считать энергию от дна зоны проводимости (=0). Кроме того, верхний предел интеграла заменим на, так как функция f (E, T) резко убывает при E > F.

Тогда.

Или.

(35).

Где.

(36).

эффективная плотность состояний в зоне проводимости. Она обозначает плотность эквивалентных состояний с одинаковой энергией, обеспечивающий ту же концентрацию, что и реальная плотность состояний с различной энергиией.

Аналогично для дырок в валетной зоне:

(37),.

где.

(38).

эффективная плотность состояний в валентной зоне.