Сведение к эталонному уравнению

Сделаем в уравнении (16), замену.

где ,.

тогда получим уравнение относительно :

или.

(17).

Это уравнение будем называть эталонным уравнением.

Точные решения эталонного уравнения можно записать в явном виде, откуда следует, что это уравнение имеет единственное положительное решение. Ниже на рис приведены графики решений уравнения (17).

Обозначим через положительное решение эталонного уравнения. Функцию можно табулировать, тогда функция выражается в следующем виде.

(18).

Формулу (18) удобно использовать при численном решении, и, в особенности для вывода асимптотических решений.

Рисунок 1 Решения эталонного уравнения.

Асимптотическое решение

Из выражения для следует, что асимптотика зависит от знака.

и, если предел.

— существует и ограничен при, то получим (в дальнейших формулах для простоты записи индекс «0» опускается):

С учетом этого, найдем асимптотику решения эталонного уравнения:

при, и .

1) При, получаем, поэтому при, т. е.

при ;

2) При, получаем, следовательно, при ,.

получим:

при ;

3) Разлагая решение уравнения (17) в ряд по в окрестности получаем.

Итак, эталонное уравнение имеет следующее асимптотическое решение:

(18).

Рисунок 2 Графики функций изображены точками, а графики точных решений эталонного уравнения, — линиями В (17) несложно получить и члены высшего приближения.

Обозначим.

.

Из приведенных на рис. 2 графиков функций видно, что функция:

является достаточно точным приближением для произвольного .

С учетом асимптотики функции по, получаем асимптотику функции по :

• 1) Из, следует. Это же следует прямо из уравнения (17), если формально положить (что эквивалентно условию электронейтральности). Следовательно, область является область электронейтральности.
• 2) Из

при и. (19).

Последнее равенство следует прямо из уравнения (16), если в нем пренебречь по сравнению с, т. е. решать уравнение или, откуда и следует формула (19). Дальнейшее исследование показывает, что область.

является областью пространственного заряда.

3) Из, при получаем, что в окрестности нулей функции .

Это же следует из уравнения (17), если в нем формально положить, тогда.

и, следовательно,.

.

Окрестность нулей функции является достаточно малой промежуточной областью между областями электронейтральности и пространственного заряда.

Из проведенных выше расчетов следует, что функция является равномерным асимптотическим представление решения уравнения (16). Эта функция может использоваться в качестве начального приближения в приводимых ниже методах последовательных приближений и Ньютона.

Метод последовательных приближений

Поделим уравнение (16) на, тогда получим уравнение.

(20).

Обозначим.

.

тогда уравнение (20), запишется в виде: .

Пусть некоторое начальное приближение, положим.

или.

Метод Ньютона

Положим.

.

тогда уравнение (17) запишется в виде.

Для решения этого уравнения можно применить метод Ньютона:

или модифицированный метод Ньютона:

Пусть — некоторое начальное приближение.

Так как,, то метод Ньютона запишется в виде:

.

а модифицированный метод Ньютона в виде: