Определение перемещений методом Мора

Суть метод Мора в следующем. Если необходимо определить перемещение в заданной точке по заданному направлению, то наряду с заданной системой внешних сил в этой точке прикладывается внешнее усилие Ф = 1 в интересующим нас направлении.

Далее составляется выражение потенциальной энергии системы, состоящей из n участков с учетом одновременного действия заданной системы внешних сил и силы Ф :

(6.1).

.

где Кх, Ку безразмерные величины, зависящие от геометрической формы сечения и учитывают неравномерность распределения касательных напряжений в сечении при поперечном изгибе. Так, например, для прямоугольника Кх = Ку = 1,2, а для двутавра при изгибе в плоскости его стенки K = F/FCT, где F площадь всего сечения двутавра, FCT площадь стенки; Nz, Qx, Qy, Mz, Mx, My внутренние силовые факторы, возникающие в поперечных сечениях заданной стержневой системы; внутренние силовые факторы, возникающие в поперечных сечениях заданной системы, от действия усилия Ф = 1.

Дифференцируя выражение (6.1) по Ф, и полагая после этого Ф = 0, находим искомое перемещение в искомой точке в нужном направлении.

. (6.2).

Полученные интегралы называются интегралами Мора и широко применяются при вычислении перемещений стержневых систем.

Для систем, элементы которых работают на растяжение или сжатие (например, шарнирностержневые системы фермы), в формуле Мора (6.2) отличен от нуля будет только слагаемое, содержащее продольные силы. При расчете балок или рамных систем, работающих в основном на изгиб, влияние поперечной и продольной силы на перемещение несущественно и в большинстве случаев их влияние не учитывается. В случае пространственной работы стержня или стержневой системы, элементы которой работают, в основном, на изгиб и кручение, в формуле Мора обычно ограничиваются рассмотрением слагаемых, содержащих изгибающие и крутящие моменты.

Подробно рассмотрим случай, когда брус работает только на изгиб (Mx 0, Nz = Mz = My = Qx = Qy = 0). В этой ситуации выражение (6.2) принимает вид:

. (6.3).

Согласно (6.3) для определения перемещения произвольной точки в произвольном направлении, последовательно необходимо выполнять следующее:

• 1. Построить эпюру моментов Мx от заданной системы внешних сил;
• 2. Исключая внешние силы и в точке, где необходимо определить перемещение по заданному направлению, прикладывается единичное усилие (сила если требуется определить линейное перемещение; момент если требуется определить угловое перемещение), и от действия единичного усилия строится эпюра моментов ;
• 3. По формуле Мора (6.3) вычисляется искомое перемещение.

Рис. 6.6.

Если принять E I = const, то перемещение в некоторой точке стержня определяется как интеграл от произведения двух функций моментов Мx и. В общем виде интеграл Мора можно выразить следующей формулой:

. (6.4).

Часто встречаются случаи, когда на участке стержня длиной l необходимо вычислить интеграл Мора при условии, что по крайней мере одна из функций линейная (рис. 6.6). Пусть f2 = b + k z, тогда из (6.4) получим :

(6.5).

где 1 площадь эпюры f1; f2 (zC) ордината линейной эпюры под центром тяжести криволинейной эпюры (рис. 6.6).

Приведенное решение носит имя русского ученого Верещагина, впервые его получившего. Таким образом, по способу Верещагина операция интегрирования выражения (6.4) в случае линейности хотя бы одной из подынтегральных функций существенно упрощается и сводится к перемножению площади криволинейной эпюры на ординату второй (линейной) функции под центром тяжести криволинейной.

Используя способ Верещагина, приведем результаты вычисления интегралов Мора для двух наиболее часто встречающихся случаев:

1. Обе функции f1 и f2 линейные (рис. 6.7), тогда.

; (6.6).

2. Функция f1 квадратная парабола, f2 линейная функция (рис. 6.8). Такая ситуация встречается, когда на участке длиной l приложена равномерно распределенная нагрузка q, тогда.

(6.7).

где f «стрелка» квадратной параболы (рис. 6.8), .

В общем случае, если площадь эпюры моментов имеет сложную геометрию и представляется возможным ее разбить на площади k (k = 1,2,3,…), имеющие элементарную геометрию, то интеграл Мора I от произведения эпюры на эпюру моментов M, может быть представлен в виде:

. (6.8).

Для расчета усилий в статически неопределимых стержневых системах существуют различные методы. Здесь рассмотрим метод сил.