Модель данных при взаимодействии факторов

В подпараграфах 8.2.1, 8.2.2 рассмотрен случай, когда в каждой ячейке матрицы, соответствующей условиям эксперимента, отражено одно наблюдение. Анализ выполняется в предположении независимости или аддитивности эффектов столбцов и строк, а также остаточных эффектов. Это аддитивное свойство на практике встречается редко. Предположим, что к некоторой смеси, из которой делается подошва, добавляются два химических вещества. Добавление вещества А увеличивает прочность материала на 8%, вещества В — на 5%. Однако это не означает, что добавление обоих веществ увеличивает прочность подошвы на 13%.

Если между факторами существует взаимодействие, то ему присуща своя дисперсия a^j. Без наличия параллельных наблюдений выделить величину <�з_в из общей дисперсии невозможно. Поэтому рассмотрим общую модель, когда в каждой ячейке отражено несколько наблюдений. Ограничимся так называемыми сбалансированными планами эксперимента, когда в каждой ячейке содержится равное число наблюдений п.

Каждое наблюдение у^, I — 1, …, п, представляется в виде.

где v у — эффект взаимодействия факторов (i-го уровня фактора В cj-м уровнем фактора А); ?щ — вариация внутри ячейки.

Основное уравнение двухфакторного ДА примет вид.

Оценки дисперсий по факторам и S| имеют прежний вид (см. табл. 8.8), оценка дисперсии взаимодействия факторов

, оценка остаточной дисперсии и оценка полной дисперсии

Остаточная часть Q_0CT характеризует влияние прочих случайных факторов (кроме факторов А, В и их взаимодействия), она обусловлена наличием нескольких наблюдений в ячейке:

Значимость влияния факторов А, В и их взаимодействия проверяют по соответствующим F-отношениям (например, ).

или их вычисленным уровням значимости.

Пример 8.2.

Рассмотрим план эксперимента с тремя факторами: А — артикул материала, В — фасон изделия, С — цвет. Исследуем их влияние на сбыт изделия с целью выяснения вкусов покупателей. Выручка в тысячах рублей при реализации продукции за два квартала приведена в табл. 8.9.

Решение. Наблюдения по каждому кварталу являются повторами, и их можно рассматривать независимыми, не образующими фактора (схема рандомизированного блочного планирования). Поэтому суммы квадратов, связанные с фиктивным фактором квартала D, отнесем к источнику остаточной дисперсии.

Матрица наблюдений для выручки продукции, разложенной по уровням четырех факторов.

Таблица 8.9

В табл. 8.10 представлены результаты полного трехфакторного ДА с учетом взаимодействия факторов.

Таблица 8.10

Базовая таблица трехфакторного ДА с учетом взаимодействия факторов.

Результаты расчетов можно интерпретировать следующим образом. Материал, из которого изготовлено изделие (фактор А), и его фасон (фактор В), рассматриваемые по отдельности, являются значимыми, так как соответствующие вычисленные уровни значимости для статистики Фишера малы (а_выч 0,05).

Заметную величину имеет взаимодействие между факторами, А и В. Рассматриваемые же совместно факторы, А и С, а также факторы В и С не оказывают существенного влияния на сбыт изделия.

Таким образом, артикул материала и фасон изделия, рассматриваемые по отдельности, а также их сочетания (например, неподходящий фасон при низком качестве материала или модный фасон при хорошем материале) являются теми сведениями, которым отдает предпочтение покупатель при совершении покупки.

Вид таблицы средних и графиков средних значений на каждом уровне фактора (или комбинации уровней для взаимодействия факторов) аналогичен таблице и графикам при однофакторном ДА.

Однородные уровни факторов по их влиянию на сбыт изделия показаны в табл. 8.11.

Значительное различие по влиянию на распродажу продукции наблюдается между изделиями из синтетики, с одной стороны, и из хлопчатобумажной и шерстяной ткани — с другой, так как они принадлежат к различным однородным группам уровней фактора А.

В однородную группу объединены прямой и цельнокроеный фасоны изделия (1-й и 3-й уровни фактора В). Цвет изделия не оказывает существенного влияния на распродажу продукции, так как все три уровня фактора С входят в одну группу.

Таблица 8.11

Результаты сравнения средних значений на каждом уровне факторов А, В, С