Особенности движения жидкой частицы

Теорема Коши-Гельмгольца гласит, что скорость в каждой точке элементарного объема жидкости складывается из скоростей поступательного движения вместе с полюсом, вращательного движения вокруг полюса и деформационного движения (рис. 6):

. (16).

Рис. 6. Движение жидкого объема

Первые два члена и характерны и для движения твердой частицы, поэтому их можно трактовать как скорость квазитвердого движения.

Если положение точки, А относительно полюса определяется вектором, то векторы и имеют компоненты соответственно:

(17).

Разложение в ряд Тейлора непрерывной функции координат в точке полюса с точностью первого порядка малости дает:

(18).

Аналогичные соотношения можно получить и для двух других компонентов скорости и .

Введем двучлен вида, прибавляя и вычитая который из последнего равенства, запишем:

(19).

Величина характеризует поступательное движение полюса.

Величины:

(20).

являются компонентами угловой скорости вращения частицы вокруг полюса.

Кроме квазитвердого движения частицы происходит деформационное движение ее частей, о чем говорят члены:

. (21).

Для пояснения их физического смысла рассмотрим движение отрезка в жидкости вдоль оси (рис. 7).

Рис. 7. Деформация жидкой линии

В момент скорость начала отрезка. Скорость его конца при разложении по формуле Тейлора будет За время отрезок продвигается влево, но его концы пройдут расстояния:

и (22).

то есть отрезок растянется или сожмется:

(23).

т. е. есть линейная деформация отрезка за время или скорость линейной деформации, а является скоростью относительной линейной деформации.

При движении отрезка вдоль оси его концы имеют скорости и и за время пройдут пути и В результате за время отрезок повернется на угол:

(24).

Если одновременно движутся два отрезка и, состоящие в начальный момент времени между собой прямой угол. За время повернется на угол, а отрезок на угол .

Деформация прямого угла равна:

(25).

скорость деформации прямого угла равна:

(26).