Изучение эффекта холла

Цель работы: исследование эффекта Холла; определение постоянной Холла и концентрации носителей тока в полупроводнике.

Приборы и принадлежности: образец полупроводника, источники регулируемого напряжения ВС-24М, электромагнит, амперметр, вольтметр, миллиамперметр, милливольтметры, потенциометр, эталонное сопротивление, ключ.

Теоретическое введение.

Эффект Холла состоит в появлении в проводнике с током, помещенном в магнитное поле, электрического поля в направлении, перпендикулярном току и магнитной индукции. Эффект был открыт американским физиком Холлом в 1879 году. Он наблюдается во всех металлах и полупроводниках независимо от их материала, однако в последних он выражен сильнее.

В настоящее время эффект Холла является одним из наиболее эффективных методов исследования носителей тока, особенно в полупроводниках. Он позволяет оценить концентрацию носителей (электронов и «дырок»), определить их подвижность и знак, что в свою очередь, позволяет судить о количестве примесей в полупроводниках и характере химической связи.

Явление Холла широко используется в технике для контроля качества металлов и полупроводников, а также в измерительной и вычислительной технике, автоматике и радиоэлектронике.

Поместим теперь образец в магнитное поле, направленное по оси y (рис.1). Тогда на свободные носители зарядов (для определенности — электроны), движущиеся со скоростью, в направлении противоположном оси х, будет действовать сила Лоренца л.

(1).

где е — заряд электрона (е < 0) ;

— средняя скорость упорядоченного движения носителей зарядов;

— индукция магнитного поля.

В нашем случае эта сила действует вдоль оси z (см. рис.1б) и равна (т.к.) :

F_л = F_z = е V_x В (2).

Здесь под V_x имеется в виду средняя (дрейфовая) скорость носителей зарядов вдоль оси x, возникающая при наложении внешнего электрического поля напряженностью Е_x .

Под действием силы Лоренца электроны отклоняются к верхней грани, заряжая ее отрицательно. На нижней грани накаливаются нескомпенсированные положительные заряды. Это приводит к возникновению дополнительного поперечного электрического поля _z, направленного от нижней грани к верхней, и к появлению разности потенциалов между гранями.

= Е_z d (3).

Когда напряженность поля _z достигнет такой величины, что электрическая сила _е, действующая на электроны, будет уравновешена силой _л, установится стационарное распределение зарядов в поперечном направлении. Поле _z складывается с полем _x в результирующее поле. Так как потенциальные поверхности всегда перпендикулярны в каждой точке к вектору, следовательно, они займут положения, изображенные на рис. 2.

Точки 1 и 2, которые прежде лежали на одной и той же эквипотенциальной поверхности, теперь будут иметь разные потенциалы, т. е. появится поперечная разность потенциалов, которая и характеризует эффект Холла.

Направление холловской разности потенциалов зависит от знака носителей тока. В полупроводниках ток может создаваться движением как отрицательных зарядов — электронов, так и положительных — дырок.

В случае электронной проводимости, электроны отклоняясь под действием силы Лоренца, будут заряжать верхнюю грань пластины отрицательно по отношению к нижней, и, наоборот, в случае дырочной проводимости верхняя грань будет заряжаться положительно по отношению к нижней (см. рис.3).

Получим выражение для холловской разности потенциалов.

В установившемся состоянии сила, действующая на заряд со стороны поперечного электрического поля.

(4).

уравновешивает силу Лоренца, так что.

(5).

Дальнейшее накопление электрических зарядов на гранях пластины прекращается. Переходя от векторного уравнения (5) к уравнению в проекциях на ось z с учетом (2) получаем:

е v_x В = е Е_z (6).

Е_z = v_xВ (7).

После подстановки (7) в (3) находим.

= v_x В d (8).

Модуль плотность тока j может быть найден из выражения.

j = е n v_x, (9).

где n — концентрация носителей зарядов и связанна с током в рассматриваемом случае соотношением :

I = j S = j a d = e n v_x а d, (10).

где S — площадь поперечного сечения образца, S = а d

Выражая v_x из (10) и подставляя в (8), находим.

(11).

Если учесть статистический характер распределения скоростей носителей зарядов, то в выражение (11) войдет множитель «К», зависящий от температуры образца. Для температур, при которых производятся наши измерения.

(12).

Итак окончательно получаем:

(13).

где величина.

(14).

называется постоянной Холла и зависит от природы вещества.

Знак поперечной разности потенциалов зависит от знака носителей тока. Для электронного полупроводника R < 0, а для дырочного R > 0.

Таким образом, по знаку постоянной Холла можно определить знак носителей тока. Если в полупроводнике осуществляются оба типа проводимости, по знаку константы Холла можно судить о том, какая из них является преобладающей.

С помощью постоянной Холла можно определить концентрацию носителей тока, если характер проводимости и заряд носителей известен.

(15).

Зная постоянную Холла и удельное сопротивление полупроводника, можно определить также подвижность носителей тока b (отношение скорости направленного движения носителей заряда, вызванного электрическим полем, к напряженности этого поля).

Действительно, модуль скорости дрейфа v_x носителей тока в электрическом поле определяется его напряженностью.

v_x = b Е_x (16).

Напряженность поля Е_x определяется из закона Ома в дифференциальной форме.

j = Е_x ,.

E_x= j, (17).

где и — проводимость и удельное сопротивление полупроводника, соответственно.

Используя соотношение (9), (14), (16−17), легко получить следующее выражение для расчета подвижности носителей тока.

b= (18).

Описание установки.

Установка содержит следующие элементы и приборы (рис.4) ПП — образец полупроводника:

R_А — потенциометр для устранения асимметрии контактов,.

R_Э — эталонное сопротивление,.

mА — миллиамперметр для измерения тока через образец (I),.

mV — милливольтметр для измерения падения напряжения на эталонном сопротивлении (U_э),.

V — вольтметр для измерения падения напряжения на образце (),.

mV — милливольтметр для измерения ЭДС Холла (_АС),.

А — амперметр для определения тока, протекающего через электромагнит ЭМ (I_м),.

К_А— тумблер, два источника регулируемого напряжения.

Для наблюдения эффекта Холла следует пропустить ток через образец и создать магнитное поле, возникающую при этом разность потенциалов Холла _АС можно зарегистрировать чувствительным гальванометром.

Перед каждым измерением разности потенциалов Холла необходимо устранить разность потенциалов, связанную с асимметрией расположения соответствующих контактов на образце.

Поперечная разность потенциалов _АС должна была бы измеряться между точками, А и С образца (рис.4). Однако даже при отсутствии поля между этими точками при пропускании тока через образец наблюдалась бы разность потенциалов, обусловленная некоторой асимметрией расположения соответствующих электродов. Поэтому, как показано на рис. 4, соединение выполнено с помощью трех электродов А', А" и С. Средняя точка А, лежащая на одной эквипотенциали эквипотенциальной поверхности с точкой С, определяется следующим способом :

Перед началом измерений включают ток через образец (магнитное поле отсутствует). При наличии асимметрии в расположении электродов возникает некоторая разность потенциалов между точкой С и средней точкой потенциометра.

Подбирают такое положение потенциометра R_А, при котором эта разность потенциалов равна нулю.

Порядок выполнения работы.

Перед выполнением работы необходимо внимательно ознакомиться со всеми измерительными приборами (пределами их измерений и классом точности). В процессе проведения измерений для получения более точных результатов нужно установить соответствующие пределы на измерительных приборах (начинать измерения необходимо с грубых пределов). Не рекомендуется! пропускать через образец ток более 20 мА.

• 1. Исследовать зависимость разности потенциалов Холла от тока через образец _АС = f (I) при В = const.
• 2. Включить в сеть зеркальный гальванометр (V_x) и источники питания 1 и 2.
• 3. Включить источник питания 2 и установить ток магнита (по указанию преподавателя или произвольный, но не более 1А).
• 4. Замкнуть ключ К_А и ключ в цепи источника питания 1 и изменяя ток, текущий через образец, измерить разность потенциалов Холла (не менее 10 измерений с шагом 0,1мА). Перед каждым измерением разности потенциалов Холла устранить асимметрию контактов. Для этого плавно уменьшить силу тока, протекающего через электромагнит до нуля (блок питания 2) и с помощью потенциометра добиться отсутствия тока в гальванометре. Затем снова установить ток через электромагнит и для данного значения тока через образец измерить холловскую разность потенциалов. Результаты измерений записать в таблицу 1.

• 5. Исследовать зависимость разности потенциалов Холла от магнитной индукции _АС = f (В). Установить ток через образец (по указанию преподавателя или произвольный), устранить асимметрию контактов. Измерить разность потенциалов Холла для различных значений тока магнита (не менее 10 измерений с шагом 0,05−0,1А). Результаты измерений записать в табл. 2.
• 6. Измерить напряжение для определения удельного сопротивления образца. Отключить источник питания 2 и гальванометр от сети (последний заарретировать). Разомкнуть ключ К_А. Для произвольно выбранного значения тока через образец измерить напряжение на эталонном сопротивлении (U_э) и образце (U). Данные занести в таблицу 3.

Экспериментальные данные и обработка результатов измерений.

Зависимость _АС = f (I).

Таблица 1.

Зависимость _АС = f (В).

Таблица 2.

Расчет удельного сопротивления.

Таблица 3.

7. На основе данных таблицы 1 построить график зависимости разности потенциалов Холла от тока через образец при В = const.

Из формулы (13) следует, что при В = const = f (I), т. е.

Это уравнение прямой, исходящей из начала координат, с тангенсом угла наклона равным:

Откуда.

(19).

Магнитная индукция В рассчитывается из уравнения.

В = (500 23) I_м (_мТл) Рассчитанную по уравнению (19) постоянную Холла R₁ и ее случайную погрешность определить методом наименьших квадратов (МНК) по соответствующей программе.

8. На основе данных, таблицы 2 построить график зависимости разности потенциалов Холла от магнитной индукции (I = const).

Уравнение (14) при I = const является функцией В

с тангенсом угла наклона.

откуда.

(20).

Рассчитанную по уравнению (20) постоянную Холла R₂ и ее случайную погрешность определить по МНК.

9. Найти среднее значение постоянной Холла и ее погрешность из соотношения.

;

На основе данных таблицы 3 найти удельное сопротивление полупроводникового образца по формуле.

.

где d = 2,93 0,01 мм — толщина образца ;

a = = 19,5 0,1 мм — ширина и длина образца`;

R_э = (100 0,05) Ом Погрешность определения U и U_э определить по классу точности приборов. Погрешность определить по методике расчета погрешностей косвенных измерений.

10. По формуле (15) вычислить концентрацию носителей тока и оценить ее погрешность.

Погрешность в I и определить по классу точности прибора.

5. По формуле (18) рассчитать подвижность носителей тока и оценить ее погрешность.

b=b

Контрольные вопросы.

• 1. Как объяснить явление Холла?
• 2. Чем отличаются полупроводники n-типа и p-типа? Как это отличие отражается на постоянной Холла?
• 3. Зависит ли постоянная Холла от температуры образца? Сравнить металл и полупроводник.
• 4. Что такое подвижность носителей тока?
• 5. Каковы размерности постоянной Холла, концентрации носителей тока, подвижности носителей тока в СИ?
• 6. Как объясняется появление разности потенциалов, связанной с возможной асимметрией в расположении контактов на образце?
• 7. Вывести формулу для расчета удельного сопротивления образца.
• 8. Почему при вычислении концентрации носителей тока их заряд следует брать равным заряду электрона?

• 1. Савельев И. В. Курс общей физики. Учеб. Пособие. В 3-х т. Т.1. Механика. Молекулярная физика. — 3-е изд., испр. — М.: Наука. Гл. ред. физ. мат. лит. 1986. 432 с.
• 2. Лабораторный практикум по физике: Учебное пособие для вузов. Под редакцией Барсукова К. А., Уханова Ю. И. — М.: Высшая школа, 1988.