Пример расчета (задача № 3)

Для сечения, составленного из швеллера № 20 а, равнобокого уголка (80 808)10−9 м3 и полосы (18 010)10−6 м2 (рис. 3.6) требуется:

• 1. Найти общую площадь сечения;
• 2. Определить центр тяжести составного сечения;
• 3. Определить осевые и центробежный моменты инерции сечения относительно осей, проходящих через его центр тяжести;
• 4. Найти положение главных центральных осей инерции;
• 5. Определить величины главных центральных моментов инерции сечения и проверить правильность их вычисления;
• 6. Вычислить величины главных радиусов инерции.

Рис. 3.6.

Решение.

Из сортамента выписываем все необходимые геометрические характеристики для профилей, входящих в составное сечение. Швеллер № 20 а (ГОСТ 824 072): hшв = 0,2 м, bшв = 0,08 м, Fшв = 25,210−4м2, = 167 010−8м4, = 13 910−8м4, = 0,0228 м.

Уголок (80 808)10−9 м3 (ГОСТ 850 972): bуг = 0,08 м, Fуг = = 12,310−4 м2, = 73,4108 м4, = 116 108 м4, =30,310−8 м4, = 0,0227 м.

Полоса bПП = 18 110−4 м2, FП = bПП = 18 110−4 м2 = 1810−4 м2;

м4, = 486 108 м4.

1. Определение общей площади составного сечения. Общая площадь составного сечения определяется по формуле:

F = Fшв + Fуг + FП, F = (25,2 + 12,3+18)10−4 = 55,510−4 м2.

2. Определить центр тяжести составного сечения. В качестве вспомогательных осей для определения положения центра тяжести примем горизонтальную и вертикальную оси xшв и yшв, проходящие через центр тяжести швеллера. Статические моменты площади всего сечения относительно этих осей будут равны:

Координаты центра тяжести вычисляем по формулам:

3. Определить осевые и центробежный моменты инерции сечения относительно осей, проходящих через его центр тяжести. Для определения указанных моментов инерции составного сечения воспользуемся формулами, выражающими зависимость между моментами инерции относительно параллельных осей:

(3.16).

(3.17).

(3.18).

В этих формулах расстояние между осями, проходящими через центр тяжести составного сечения, и осями, проходящими через центры тяжести каждой составной части фигуры, а и b (рис. 3.6), в рассматриваемом случае будут равны:

Подставив числовые значения величин в формулы (3.16) и (3.17), получим:

= [1670 + 25,2(1,7)2 + 73,4 + 12,3(9,43)2 + 1,5 + 18(8,8)2]108 = = 4305,410−8 м4.

= [139 + 25,2(1,42)2 + 73,4 + 12,3(3,13)2 + 486 +18(0,14)2)108 = = 870,110−8 м4.

При вычислении центробежного момента инерции составного сечения следует иметь в виду, что и равны 0, так как швеллер и полоса имеют оси симметрии, а.

.

где угол между осью x и главной осью x0 уголка. Этот угол может быть положительным или отрицательным. В нашем примере = +45, поэтому:

Далее, подставив числовые значения в формулу (3.18), получим величину центробежного момента инерции составного сечения:

= [0 + 25,2 (1,7) 1,42 + 42,85 + 12,3 (9,43) (3,13) + 0 +.

+ 18 8,8 0,14] 108 = 367,210−8 м4.

4. Найти положение главных центральных осей инерции. Угол наклона главных осей инерции, проходящих через центр тяжести составного сечения, к центральным осям инерции xC и yC определим по формуле:

.

Так как угол получился отрицательным, то для отыскания положения главной оси максимального момента инерции u следует ось x0, осевой момент инерции относительно которой имеет наибольшее значение, повернуть на угол по ходу часовой стрелки. Вторая ось минимального момента инерции v будет перпендикулярна оси u.

5. Определить величины главных центральных моментов инерции сечения и проверить правильность их вычисления. Величины главных центральных моментов инерции составного сечения вычисляем по формуле:

Для контроля правильности вычисления величины моментов инерции составного сечения производим проверки.

1ая проверка: Imax + Imin == const;

Imax + Imin = (4344,55 + 830,95)10−8 = (5175,5)10−8 м4;

= (4305,4 + 870,1)10−8 = (5175,5)10−8 м4.

• 2ая проверка: Imax >>> 0;
• 4344,55 10−8 > 4305,410−8 > 870,110−8 > 830,9510−8 м4.

Проверки удовлетворяются, что говорит о правильности вычисления моментов инерции составного сечения.

6. Вычислить величины главных радиусов инерции. Величины главных радиусов инерции вычисляем по известным формулам: