Метрика Шварцшильда и уравнение состояние материи

Все статические метрики вида (4) описываются уравнением (27), полагая в этом уравнении, находим.

(32).

Интегрируя уравнение (32), получим.

(33).

— произвольная постоянная. Для физических приложений представляют интерес статические решения, которые имеют в качестве асимптотики метрику Шварцшильда, описывающую гравитационное поле точечной массы.

(34).

Метрика (34) широко используется в космологии в связи с явлением коллапса, ведущим к образованию черных дыр. Заметим, что метрика Шварцшильда определена в сферических координатах, тогда как метрика (4) является центрально-симметрической. Для согласования метрик положим, тогда метрика Шварцшильда преобразуется к виду.

(35).

Среди статических метрик, имеющих в качестве асимптотики метрику Шварцшильда (35), можно выделить экспоненциальную зависимость.

(36).

Подставляя выражение (43) в уравнение (40), находим уравнение состояния, которое согласовано с метрикой Шварцшильда.

(37).

Заметим, что в метрике Шварцшильда (34) параметр соответствует массе или энергии покоя системы. Мы предполагаем, что источник гравитации типа точечной массы обусловлен в метрике (4) наличием двух типов уравнения состояния, соответствующих бозонам и фермионам.

Сопоставим первое уравнение (37) с квантовыми статистиками (12):

— в случае бозонов.

;

— в случае фермионов.

.

Как известно, деление частиц, на фермионы и бозоны, первоначально возникло в статистической физике [24], и лишь благодаря теореме Паули была установлена связь спина со статистикой [26]. Однако уравнение состояния в форме (37) не содержит никакой информации о спинах частиц. Согласно (37), разделение на бозоны и фермионы является фундаментальным свойством гравитационного поля, тогда как спин является свойством симметрии системы, которые отражены во втором уравнении (31).