Ожидаемая доходность, или модель «честной игры»

Из определения эффективного рынка следует, что цена в полной мере отражает всю имеющуюся доступную информацию. Определим более точно данное свойство, подробнее описав процесс ценообразования.

Большинство работ основано на предположении о том, что условия рыночного равновесия могут быть как — то сформулированы в терминах ожидаемой доходности. В теоретических моделях предполагается, что в равновесии ожидаемая доходность ценной бумаги зависит от ее «риска». И различные теории будут отличаться в первую очередь в том, как «риск» определяется.

Определим данную модель следующим образом:

(1).

Где E оператор математического ожидания, цена j-ого актива в момент времени t, доходность, выраженная в процентах, , — представляет собой общее обозначение для любого множества информации, которая «в полной мере отражена» в цене на момент времени t. В свою очередь и являются случайными величинами.

Значение равновесной ожидаемой доходности, проецируемой на, каждый раз будет определяться из конкретных условий. Условное математическое ожидание, в (1) предполагает, что применяется для определения равновесной ожидаемой доходности, в том смысле, что в отражена вся информация, использованная для формирования цены .

Предположения о том, что условия рыночного равновесия могут быть выражены в терминах ожидаемой доходности и что равновесное значение ожидаемой доходности формируется на основании информации, указанной в, имеют большой эмпирический смысл — они исключают возможность торговых систем, использующих информацию, получать ожидаемую прибыль или доходность выше, чем их равновесные значения. Итак, пусть:

(2).

Тогда:

(3).

Где по определению последовательность { является «справедливой игрой» по отношению к информационной последовательности { Или если ввести другое обозначение:

(4).

Тогда;

(5).

Где по определению последовательность { является «справедливой игрой» по отношению к информационной последовательности {.

С экономической точки зрения представляет собой избыточную рыночную стоимость ценной бумаги в момент времени t+1: это разница между наблюдаемой ценой и ожидаемой ценой, которая была предсказана в момент времени t на основе информации. Аналогично, представляет собой избыточную рыночную доходность ценной бумаги в момент времени t+1.

Обозначим через любую торговую систему, основанную на, которая показывает инвестору сумму денежных средств, доступных на момент времени t, которые будут инвестированы в любые из n доступных ценных бумаг. Тогда избыточная стоимость в момент времени t+1, которая генерируется такой системой:, которая из свойства «честной игры» (5) принимает следующий вид:

Данная модель имеет и другие важные свойства, о которых мы поговорим при анализе эмпирических работ, а сейчас перейдем к моделям субмартингала и случайного блуждания.