Понятие счета в теоретической и методической литературе

Возникновение математических понятий произошло задолго до появления собственно математических текстов. Самой древней математической деятельностью был счет. Счет был необходим, чтобы следить за поголовьем скота и вести торговлю. Некоторые первобытные племена подсчитывали количество предметов, сопоставляя им различные части тела, главным образом, пальцы рук и ног. Наскальный рисунок, сохранившийся до наших времен от каменного века, изображает число 35 в виде серии выстроенных в ряд 35 палочек-пальцев. Первыми существенными успехами в арифметике стали концептуализация числа и изобретение четырех основных действий: сложения, вычитания, умножения и деления.

Некоторые ученые, например известный немецкий математик М. Кантор считали, что счёт имеется уже у животных. По М. Кантору, «счёт, поскольку под ним подразумевают лишь сознательное сведение воедино определенных сущностей, не составляет особенности человека, ибо утка также считает своих утят». Современные исследователи отмечают, что животные разных видов, начиная с рептилий, обладают способностями обобщения по признаку «соответствия», абстрагирования, ряд позвоночных способны к зачаткам «символического мышления человека». Вороны «способны не только к обобщению относительного признака «соответствие», но также к формированию довербального понятия «число».

Как пишет Ф. Кликс: «Способность распознавать различные количества предметов одного и того же или разного вида встречается уже среди врожденных поведенческих программ. Пчелы дифференцируют различное число лепестков у цветов. Некоторые виды птиц, например, голуби, могут научиться различать количество точек и пятен, числом 7 или 9».

По мнению советских авторов «Истории математики» (1970) счёт прерогатива, сугубо, человеческая, первобытно-пещерным «людям», как и уже высшим животным доступен так называемый «чувственный счет»: «Когда первобытному охотнику нужно было узнать, все ли собаки в своре на месте, он не считал их, а просто, окинув взором свору, видел, какой собаки не хватает. Такой „чувственный счёт“, доступный даже утке чувствующей, весь ли ее выводок следует за ней к водоёму, существовал задолго до возникновения счёта».

Действительно, существуют гипотезы, согласно которой счёт, способность к счёту — это то, «нечто», что принципиально отличают человека от животного.

Что появилось первым понятие числа или счёт? Очевидно, что понятие числа кристаллизовались на основе и в процессе развития счёта.

Можно выделить четыре этапа этой эволюции:

• 1. установление соответствий предметов;
• 2. выработка естественных эталонов счёта;
• 3. выработка эталона-множества символизирующего некое конкретно число (где, впервые возникает понятие числа);
• 4. выработка наиболее удобных счётных систем.

Первым шагом или этапом к возникновению счёта было установление «взаимно однозначного соответствия» между считаемыми предметами и некоторым другим множеством. Счёт строился на однозначных соответствиях; «у некоторых южноафриканских племен при счёте дотрагиваются до каждого предмета по очереди пальцами, начиная с мизинца левой руки».

Австралийцы и полинизийцы, пользовались своим телом как живой шкалой, каждая часть тела которого имела свое название и место в системе счисления.

Таким телом «живой шкалой» пользовались, чтобы сообщить, например, дружественному племени о количестве воинов, собираемых племенами, или о числе дней, по прошествии которых следует выходить на охоту.

Самым трудным этапом, который прошло человечество при выработке понятия о числе, считается выделение им понятия единицы из понятия «много». Оно произошло, по всей вероятности, еще тогда, когда человечество находилось на низшей ступени развития. В. В. Бобынин объясняет такое выделение тем, что человек обычно захватывает рукой один предмет, а это, по его мнению, и выделило единицу из множества. Таким образом, начало счисления, по мнению Бобынина, это создание системы, состоящей из двух представлений: «единица» и «неопределенное множество».

У первобытного человека не было потребности в счёте больших количеств. Поэтому счет доходил до 2 или до 3 — всё превышающее этот рубеж, первобытному человеку представлялось как «много». Числительное «два» имело качественное происхождение — пара рук, ног, глаз и пр.

«Ручной счет сыграл в развитии счета столь же важную роль, как и открытие огня в общем развитии первобытного человека» — заключает Э. Кольман. По его мнению, счет пальцами рук и ног, сменился знаками «заместителями» отсчитываемых предметов. Такими «знаками заместителями» стали камешки, ракушки, которые в процессе счета откладывались в кучки, наносились зарубки, завязывались узелки и пр. Понятия 1, 2, 3 и т. д. появляются раньше самого понятия числа.

С развитием хозяйства возникла потребность в расширении пространства счета. При возникновении потребности в расширении числовой области низшие числительные, зачастую, просто повторялись.

Однако необходимость счета больших количеств выявил неспособность прежнего способа счета (когда низшие числительные повторяются) справится с этой задачей. «Высшим числам даются особые названия, возникают высшие числительные».

Крайние числительные теперь простираются гораздо дальше 10 и даже 20. За крайним числом по-прежнему простирается неопределенное «много». (Интересно, что у русских названия «пыль», «звезды», «тьма» были равнозначны понятию «много»).

На первой ступени развития счета человек еще отнюдь не пользовался наименованием чисел, а выражал их соответствующими телодвижениями или жестами.

Дальнейшее развитие счета относится к эпохе, когда человечество ознакомилось с некоторыми формами производства — охотой и рыболовством. Человеку пришлось изготавливать простейшие орудия для овладения этими производствами. Кроме того, продвижение человека в холодные страны заставило его делать одежду и создавать орудия для обработки кожи.

Развитие счета пошло гораздо быстрее, когда человек догадался использовать самый естественный счетный аппарат — свои пальцы. Пальцевый счет постепенно приводил к упорядочению счета, и человек стихийно приходил к упрощению словесного выражения счета.

На современном этапе счет является ведущей ступенью в образовании человека. Еще с раннего детства человеку стремятся преподать навыки счета, которые используются и усовершенствуются всю жизнь. Началом формирования навыков счета является дошкольное обучение математике.

Основоположники системы математического образования дошкольников Я. А. Коменский и И. Г. Песталоцци считали, что основы арифметики можно заложить уже на третьем году жизни, когда дети начинают считать до пяти, а в последствии до десяти или, по крайней мере, начинают ясно выговаривать эта числа. Если на четвертом, на пятом, на шестом году они научатся считать по порядку до двадцати и быстро различая, что 7 больше 5, 15 меньше 30, то этого будет достаточно.

В педагогических сочинениях отца русской дидактики К. Д. Ушинского говорится, что, прежде всего, следует выучить детей считать до десяти на наглядных предметах: на пальцах, орехах, и т. д., которые не жалко было бы и разломать, если придется показать наглядно половину, треть, и т. д.

Считать следует учить назад и вперед так, чтобы дети с одинаковой легкостью считали от единицы до десяти и от десяти до единицы. Потом следует научить считать их парами, тройками, пятерками, чтобы дети поняли, что половина десяти равна пяти и т. д. Ушинский говорил, что надо просто «приучить дитя распоряжаться с десятком совершенно свободно — и делить, и умножать, и дробить…».

В истории педагогики достаточно широкое применение получила система математического развития детей М. Монтессори. Суть ее в том, что трехлетние дети умеют считать до двух или трех. Потом они легко учатся нумерации. Для обучения нумерации М. Монтессори использовала монеты. «…Размен денег представляет первую форму нумерации, довольно интересную для возбуждения живого внимания ребенка…».

Далее она обучала с помощью методических упражнений, применяя как дидактический материал одну из систем, уже использованную в воспитании чувств, то есть серию из десяти брусков различной длины. Когда дети разложат бруски один за другим по их длине, им предлагают сосчитать красные и синие отметки. Теперь к упражнениям чувств для распознавания более длинных и более коротких брусков присоединяются упражнения в счете. Так происходило обучение математическим представлениям в «Доме ребенка» М. Монтессори.

З.С. Пигулевская в пособии «Счет в детском саду» раскрыла опыт обучения детей счету на материале содержания занятий, приемов обучения, проведения игр и использования некоторых дидактических средств.

Содержание обучения заключалось в последовательном изучении каждого из чисел первого десятка в отдельности. Дети образовывали числа путем последовательного присоединения к одному предмету другого, затем — третьего и т. д. Одновременно с рассмотрением состава числа дети изучали счет.

Занимаясь по методике Н. Зайцева математикой, дети знакомятся сразу с первой сотней, находят любое число на числовой ленте, решают любые задачи и примеры на сложение и вычитание в пределах ста. Пяти-шестилетние прекрасно считают в уме, подходят к умножению и делению, выходят за пределы первой сотни.

В 1968 году появилась и была апробирована на практике методика Б. П. Никитина, который впервые призвал «заниматься с ребенком как можно раньше», то есть, как выражался этот замечательный педагог — «Своевременно!» Игры должны быть организованы так, что бы развивать высочайший интеллект.

В Японии ранним развитием занялся известный предприниматель Масару Ибука — президент фирмы «SONY». Это был поклонник системы Никитина, пригласивший Бориса Павловича в «страну Восходящего солнца» выступить по японскому телевидению — еще в начале 70-х годов. Одну из его книг редактор русского перевода О. Г. Свердлова перевела так: «После трех — уже поздно!».

Из множества различных мнений о возникновении у детей понятия о числе можно обозначить три наиболее характерных.

Немецкий педагог В. А. Лай утверждает, что понятие числа возникает у детей путем непосредственного восприятия, т. е. если ребенку дать несколько предметов (от 10 до 12), расположенных правильными фигурами, то он может узнать число этих предметов сразу, не считая их.

И сообразно с этим сторонники непосредственного восприятия чисел первоначальное обучение арифметике обосновывают на так называемых числовых фигурах, т. е. на группе одинаковых значков или тел, расположенных в определенном порядке.

Другая версия состоит в том, что числовое понятие возникает только посредством счета.

Третья версия заключается в том, что «понятие числа психологически получается, как результат измерений. И сообразно с этим в начале обучения на первое место выдвигается изучение количественной изменяемости величин и их функциональной зависимости» (Д.Л. Волковский).

Нам думается, что в каждом из этих мнений есть доля истины. Безусловно верно, что понятие о числе может возникнуть путем непосредственного восприятия. Точно так же справедливо, что представление числа может возникать путем счета.

Известный психолог Прейнер в одном из своих исследований говорит, что «имея перед глазами группу предметов в числе трех, мы можем непосредственно узнать это число, не производя счета, и называет такой процесс условным выражением „бессознательный счет“. Если же число предметов, находящихся перед глазами, превосходит этот ограниченный предел и если предметы размещены в ряд, то такое узнавание-схватывание числа их становится затруднительным и даже невозможным, вследствие чего мы ощущаем непреоборимую потребность прибегнуть к счету».

Делая выводы, следует сказать, что счет необходим как один из процессов изучения чисел. Это видно из того, что его не отвергают и сторонники непосредственного восприятия чисел. Непосредственное восприятие числа опирается преимущественно на пространственные элементы, а счет — на временные элементы числа и действий над числами.

Что касается взгляда на число как результат измерения, то это тоже правильный взгляд, но он не исключает собою понятия о числе как результате счета, а лишь расширяет и углубляет понятие числа. Но как более трудный вид для понимания детей, чем предыдущий, он должен не предшествовать ему, а следовать за ним. Вопрос о числовых фигурах считается одним из опорных вопросов в методике арифметики.