Доверительные интервалы для параметров регрессионной модели

Пусть вектор ошибок е имеет n-мерное нормальное распределение. В этом случае вектор Y наблюдений (4.29) также имеет нормальное распределение, и из взаимной некоррелированности его элементов у, следует их независимость.

Выше показано, что оценка bj, j = 0,1,2,… к, имеет нормальный закон распределения с математическим ожиданием (3; и дисперсией согласно (4.34).

Отсюда статистика имеет нормированный нормальный закон распределения.

Согласно выражению (4.38) статистика имеет распределение х2 с п — It — 1 степенями свободы.

Напомним, что случайная величина.

(4.45).

подчиняется распределению Стьюдента ((-распределение) с v степенями свободы, если г имеет нормированное нормальное распределение (г ~ N (0; 1)), и2 имеет распределение х2 с v степенями свободы i, причем г и и независимы.

Подставив г и и в выражение (4.45), получим выборочную характеристику.

(4.46).

которая имеет распределение Стьюдента с (п — k — 1) степенями свободы. Используя характеристику (4.46), построим с доверительной вероятностью у интервальную оценку для.

(4.47).

Теперь определим интервальную оценку для уравнения регрессии уы в точке, определяемой вектором начальных условий Х° размерности к + 1:

Тогда несмещенная точечная оценка с минимальной дисперсией регрессии уы в точке, определяемой условиями Хп, равна уы = (Хп)' Ь.

В самом деле:

где E ((l) — ковариационная матрица вектора оценок Ь.

Найдем доверительный интервал для уы, используя статистику.

которая согласно выражению (4.45) имеет распределение Стьюдента с и — -k — 1 степенями свободы. Из условия Р (тf) = у, раскрыв неравенство, стоящее в скобках, найдем интервальную оценку для уы в точке, определяемой вектором Х°, с надежностью у:

(4.48).

где fy определяется по таблице^{-распределения} Стьюдента для вероятности, а = 1 — у и числа степеней свободы п — к — 1.

Интервальная оценка #"+1 в точке предсказания Х'|+1 с надежностью у определяется как.