Интегрирование по частям

Теорема 3.4 (интегрирование по частям). Пусть функции / и g непрерывны вместе со своими производными (1-го порядка) на отрезке [а, Ь]. Тогда справедлива формула интегрирования по частям

или.

где f (.x)g (x)^b_a = f (b)g (b) — f (a)g (a).

Эта формула в интегральном исчислении называется формулой интегрирования по частям (иногда формулой приведения).

Значит,.

Доказательство. По правилу дифференцирования произведения имеем.

Но функция fg, очевидно, является первообразной для (fg)' на отрезке [а, Ь]. Значит, по формуле Ньютона — Лейбница.

Подставляя в формулу (3.5), получаем требуемое. Теорема доказана. Замечание 3.5. Существует обобщение формулы интегрирования по частям:

где функции /, g и все встречающиеся производные предполагаются непрерывными на [а, Ь].

Пример 3.22.

Применяя формулу интегрирования по частям, найти интегралы: Решение, а) Вычисляем:

[~пх, х eV, 1],.

• б) Поскольку 1пх=(., то
• 11 |lnx, хе[1,е],

dx х^.

в) Положим / = arctg x, dg = xdx .тогда df = —g = — и получаем.

и, интегрируя по частям, получаем.

б) Применим формулу интегрирования по частям:

л где I-[= arctg (cosx)dx о Чтобы найти 1_Ь заметим, что график функции arctg (cosx) центрально симметричен относительно точки (тс/2;0). Поэтому интегралы от этой функции по отрезкам [0, я/2] и [я/2,к] равны по модулю и противоположны по знаку, а значит, в сумме равны нулю, т. е. /] = 0. Этот же факт можно было установить следующим образом: разобьем 1у на два интеграла по отрезкам [0, я/2] и [л/2, я] и во втором интеграле сделаем замену переменной x = n-t. Получим.

Пример 3.24.

Найти интеграл Эйлера (бета-функцию)¹

¹ Подробнее свойства эйлеровых интегралов (бетаи гамма-функций) изучаются в разделе «Интегралы, зависящие от параметров» (как правило, на втором году обучения в университете).

Применяя последовательно полученную формулу понижения (по п), находим.

Пример 3.25.

Найти интегралы: а) /₂ =J (xsinx)²dx; б) /₂ = f (xcosx)²dx.

о о.

Решение. Заметим, что гораздо проще вычислить не отдельно данные интегралы, а их сумму и разность:

Пример 3.26.

Вывести формулу понижения степени и с ее помощью вычислить интегралы:

Решение, а) Пусть f = smⁿ~¹x, dg = sinxdx. Тогда, интегрируя по частям, имеем.

и и откуда получаем формулу понижения степени: /" =——₂.

п

С помощью найденной рекуррентной формулы легко получить значение интеграла для любого натурального п.

Пример 3.27.

1 _хл Вычислить интеграл /" = J. dx (п е N).

о VI — х²

Решение. Полагая х = sint, t е [О, я/2], находим.

(см. предыдущий пример).

Следующий пример показывает, что в некоторых случаях интегрирование по частям возможно и тогда, когда выполнены не все условия теоремы 3.4.

Пример 3.28.

Вычислить интеграл J arcsin xdx.

о

Решение. Функция arcsinx непрерывно дифференцируема на отрезке [0,1-е] для любого е>0, но не является такой на отрезке [0,1]. Поэтому согласно теореме 3.4 интегрирование по частям допустимо только на отрез;

ках вида [0,1-е], е>0. Но так как интеграл Jarcsinxdx существует (функция о.

arcsinx непрерывна на [0,1]), то.

1 1-е т. е. Jarcsin xdx = lim J arcsin xdx = lim (F (1 — e) — F (0)) = F (1) — F (0), где непре;

Q? >0+ Q ?—>0+.

рывная функция F (x) = xarcsinx + Vl-x² — первообразная для arcsinx на отрезке [0,1].

На практике такого рода интегралы можно вычислять без введения символа предела. Так, в данном случае.