Дифференциальные уравнения высших порядков

ДИФФЕРЕНиИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА

Основные понятия

Определение I. Дифференциальным уравнением второго порядка называется уравнение вида.

где х — независимая переменная, у — искомая функция, у' и у"  — соответственно се первая и вторая производные.

Примеры дифференциальных уравнений второго порядка:

Будем рассматривать уравнения, которые можно записать в виде, разрешенном относительно второй производной:

Как и в случае уравнения первого порядка, решением уравнения (19.1) называется функция у = <�р (лг), определенная на некотором интервале (я, b), которая обращает это уравнение в тождество. График решения называется интегральной кривой. Имеет место теорема существования и единственности решения уравнения второго порядка.

Теорема 19.1 (теорема Коши). Пусть функция f (x, у, у') и ее частные производные f_x и f_y непрерывны в некоторой области D пространства переменных (х, у, у'). Тогда для любой внутренней точки М₀(хq, у^ y'_Q) этой области существует единственное решение уравнения (19.2), удовлетворяющее условиям:

Геометрический смысл этой теоремы (ее доказательство мы не приводим) заключается в том, что через заданную точку (х₀, у₀) на координатной плоскости Оху проходит единственная интегральная кривая с заданным угловым коэффициентом^ касательной (рис. 19.1).

Условия (19.3) называют начальными условиями, а задачу отыскания решения уравнения (19.2) по заданным начальным условиям — задачей Коши.

Рис. 19.1.

Общим решением уравнения (19.2) в некоторой области D называется функция у — <�р (х, С, С₂), если она является решением этого уравнения при любых постоянных величинах С, и С₂, которые могут быть определены единственным образом при заданных начальных условиях (19.3). Частным решением уравнения (19.2) называется общее решение этого уравнения при фиксированных значениях постоянных С, и С₂: y =.

₂).

Пример 1. Рассмотрим уравнение у" = 0. Общее решение этого уравнения получается при его двукратном интегоиоовании:

где С, и С₂ — произвольные постоянные. Данное решение представляет собой семейство прямых, проходящих в произвольных направлениях, причем через каждую точку плоскости Оху проходит бесконечное число таких прямых. Поэтому для выделения частного решения, проходящего через заданную точку (х₀, у₀), следует задать еще и угловой коэффициент прямой, совпадающей в данном случае со своей касательной. Например, найдем частное решение, удовлетворяющее начальным условиям.

т.е нужно найти прямую, проходящую через точку (1,2) с угловым коэффициентом, равным единице. Подстановка начальных условий в общее решение уравнения приводит к системе двух линейных уравнений относительно постоянных С, и С₂:

откуда С, = 1, С₂ = 1. Таким образом, искомое частное решение — это прямая у — х + 1.