Решение линейного уравнения Фоккера — Планка

Дифференциальное уравнение Фоккера-Планка используется в современном финансовом анализе как мощный инструмент прогнозирования финансовых рынков. Для анализа зачастую достаточно рассмотреть линейную разновидность данного уравнения:

где x — значение цены рассматриваемого актива,.

м (x) — математическое ожидание изменения цены актива х,.

у (x) — дисперсия случайного изменения цены.

Для начала, отметим, что наша цель — найти такую функцию плотности вероятности, производная которой по времени равна тождественному нулю. Это означает, что данная функция будет отвечать стационарному решению данного дифференциального уравнения, а, следовательно, она не будет зависеть от времени:

Последовательно выполняя элементарные операции, будет получено тождество вида:

Решая последнее, получим значение функции плотности вероятности:

;

Следует отметить, что понятие функции плотности вероятности, в какой — либо точке тесно связано с вероятностью для цены принять заданное значение. Теперь, для того, чтобы оценить функцию плотности цены рассматриваемого актива, нам необходимо оценить параметры, от которых она зависит.

Оценка параметризующих функций

Методология решения вариационной задачи

Вариационное исчисление — это наука, в которой изучаются вариации функционалов. Функционалом является некоторое отображение, определенное на произвольном множестве и имеющее числовую область значений. Типичной задачей является поиск функции доставляющей экстремум некоторому выражению:

Стандартным является алгоритм решения, в котором сначала с помощью уравнения Эйлера Лагранжа находится функция, которая удовлетворяет необходимым начальным условиям и возможно является решением вариационной задачи:

;

То есть, если x — решение вариационной задачи => х — решение уравнения Эйлера — Лагранжа.

Далее, следует проверить выполнение необходимых и достаточных условий достижения функцией экстремума. Необходимым условием является условие Лежандра:

Достаточным условием является условие Якоби. Согласно нему, необходимо для начала составить и решить дифференциальное уравнение Якоби:

;

Решив данное уравнение с учетом начальных условий, мы должны выяснить имеются ли на рассматриваемом интервале сопряженные точки. Если сопряженных точек нет, следовательно, условие Якоби выполнено, т. е. имеем достаточное условие экстремума функции.