Синтез управления. 
Применение противовирусных препаратов

Приведем математическую модель (3.1.1−3.1.5) к виду системы с параметрами, зависящими от состояния:

(3.2.1).

для которой.

Так как управляющее воздействие и возмущение записаны в виде.

,.

матрица будет определяться решением алгебраического уравнения Рикатти (2.2.8) с заданными весовыми матрицами:

Производя вычисления в пакете MatLab получаем:

Используя встроенный оператор lqr, вычислим матрицы и. Матрица такая, что .

Для существования решения дифференциальной игры, матрица.

должна быть, по крайней мере, положительно полуопределена: .

Получив матрицу, находим начальные условия для :

.

Рассмотрим «больного» на первой стадии, когда концентрация вируса очень высока, он размножается и разносится по всему организму, а количество CD4 T клеток резко уменьшается. Начальные условия для этого случая будут следующими:

Как видно на графике, количество зараженных клеток быстро увеличилось, однако через некоторое время процесс стабилизируется. Иммунная система возьмет под контроль заболевание и начнет активно вырабатывать CD4 T клетки, которые будут бороться с вирусом. Но, несмотря на это, вирусные клетки все равно будут доминировать, это приведет к снижению иммунитета и, как следствие, смертельному исходу.

Если начать лечение, то можно заметно уменьшить численность вирусных клеток и привести систему в условие длительного непрогрессора.

На графике показано постепенное увеличение, а в последствие преобладание CD4 T клеток и снижение клеток вируса. При продолжении лечения система переходит в хроническое состояние, при котором CD4 T-клетки преобладают и не дают вирусу «нападать» на иммунную систему, а сдерживают его на низком уровне.

Поскольку данная задача поддержания жизни ВИЧ-инфицированных больных представлена в виде антагонистической игры «CD4 T-клетки — вирус» и для ее решения применяется стратегия гарантированного управления, необходимо смоделировать поведение динамической модели. Предложенное управление должно выводить систему из критического состояния [10]. Для этого установим следующие начальные условия:

Данный график демонстрирует состояние пациента, иммунная система которого сильно истощена. Система пытается сопротивляться вирусами самостоятельно, однако их плотность слишком велика т.к. наша модель является прообразом ВИЧ-положительного больного, находящегося в кризисном положении.

Теперь рассмотрим поведение данной модели при существовании управляющих воздействий. В данном случае гарантированное управление должно быть способно не только выводить систему из кризисного состояния, но и своевременно справляться с поступающими на нее противодействующими возмущениями.

График показывает, что при наличии активных управляющих воздействий система благополучно справляется с критичными начальными условиями и переводит систему в непрогрессирующее состояние.

Таким образом, математическое моделирование динамики ВИЧ-инфекции от времени с управлениями, полученные при использовании метода, описанного в Главе 2, подтверждают продуктивность гарантированных управлений для разнообразных состояний иммунной системы.