Нелинейная зависимость. 
Теория и практика измерения латентных переменных в образовании

Если коэффициент регрессии р, равен 0, то это означает, что невозможно предсказать Y относительно X. Это может означать, что между Y относительно X нет взаимосвязи. С другой стороны, всегда остается возможность, что между переменными есть нелинейная взаимосвязь.

На рис. 2.3 показана именно такая взаимосвязь. Здесь линия регрессии представлена горизонтальной прямой р, = 0. Это свиде;

Рис. 23. Данные с нелинейной взаимосвязью (р, = 0)

тельствует об отсутствии линейной взаимосвязи между переменными.

В этой ситуации для выявления взаимосвязи между переменными требуется более сложная модель. Этот пример свидетельствует о необходимости тщательного анализа при установлении взаимосвязи между переменными.

Корреляция как доля учтенной дисперсии

При изучении взаимосвязи между двумя переменными необходим показатель, показывающий степень их взаимосвязи. Очевидно, что S'_X является хорошим индикатором взаимосвязи между переменными, поскольку он непосредственно показывает, какая доля дисперсии одной переменной У не может быть предсказана (или объяснена) переменной X.

Если бы взаимосвязь между переменными была функциональной, то все экспериментальные точки лежали бы на прямой. Тогда тестовый балл школьника по алгебре Y можно было бы предсказать на основе тестового балла, но арифметике X. В этом случае не было бы ошибки предсказания.

Однако маловероятно, что Sy_X = 0, поэтому мы должны интерпретировать насколько велико или мало полученное значение S_x. Представляется целесообразным сравнить S$_x с 5². Такое сравнение проведено для нашего примера (рис. 2.4).

На рис. 2.4, а показана вариабельность переменной Y относительно среднего значения. Как было вычислено ранее, вариабельность переменной Y равна.

На рис. 2.4, б показана вариабельность переменной У относительно предсказанных значений, т. е. Y_t — Y_r Как было показано ранее, эта дисперсия равна S$_x = 0,48.

Рис. 2.4. Дисперсия без и с учетом корреляции.

Отношение дисперсии ошибки предсказаний относительно общей дисперсии равно.

Это доля необъясненной дисперсии. Соответственно, доля объясненной дисперсии равна.

Для нашего примера:

Это свидетельствует о том, что 0,76 дисперсии тестовых баллов по алгебре (10 может быть объяснено тестовыми баллами по арифметике (X). Доля необъясненной дисперсии равна 0,24.

Если бы взаимосвязь между переменными была бы функциональной, то Sy_X = 0 и г² = 1. В этом случае доля объясненной дисперсии была бы равна 1.

Если бы между переменными не было линейной зависимости, т. е. S‘y_X = Sp то доля объясненной дисперсии была бы равна 0.