Эмпирические параметры для функции распределения

Пусть известно статистическое распределение частот количественного признака Х, п — число наблюдений (объем выборки), пх — число наблюдений, при которых наблюдалось значение признака, меньшее х. Относительная частота события Х < х равна пхп. Если изменяется х, то изменяется относительная частота, т. е., относительная частота пх/ п есть функция от х. Так как эта функция находится эмпирическим (опытным) путем, то её называют эмпирической. Эмпирической функцией распределения Fn (x) называется относительная частота того, что признак (случайная величина Х) примет значение, меньшее заданного х:

Fn (x) = щ (X < x) F * (x) = nx / n.

Где:

nx — число вариант, меньших х;

n — объем выборки.

В отличие от эмпирической функции распределения выборки функцию распределения F (x) генеральной совокупности называют теоретической функцией распределения. Различие между эмпирической и теоретической функциями состоит в том, что теоретическая функция F (x) определяет вероятность события Х < х, а эмпирическая функция F*(x) определяет относительную частоту этого же события.

Из определения функции F*(x) вытекают следующие её свойства:

• 1. значения эмпирической функции принадлежат отрезку (1, 1);
• 2. F*(x) — неубывающая функция;
• 3. если х1 — наименьшая варианта, то F (x) = 0 при х будет? х1, если хk — наибольшая варианта, то F (x) = 1 при х становится? хk.

Эмпирическая функция распределения выборки служит для оценки теоретической функции распределения генеральной совокупности.

Пример:

Построим эмпирическую функцию поданному распределению выборки:

Объем выборки п = 12 + 18 + 30 = 60.

Наименьшая варианта равна 2, следовательно, F (x) = 0 при х, который? 2, значение Х становится < 6, а именно х1, теперь равен 2, наблюдалось 12 раз, следовательно F (x) уже равно = 12 / 60 = 0,2.

Так как х = 10 — наибольшая варианта, то F (x) = 1 при х ?10.