Движение заряженной частицы в электростатическом поле

Частица в однородном поле

Уравнение движения имеет вид.

Если Е = const, то ускорение а = — = — = const В этом случае дви;

г1/ т

жение частицы подобно движению тела в поле тяжести, в частности траектория частицы — парабола. Уравнения траектории:

Скорость частицы меняется по закону.

Частица в неоднородном поле

В общем случае нахождение траектории — сложная проблема, связанная с решением дифференциальных уравнений. Закон сохранения энергии позволяет получить первый интеграл уравнений движения. Имеет место равенство.

Рис. 7.61.

где Е — полная энергия частицы. Если в точке 1 скорость частицы равна v, потенциал <�р, а в точке 2 — v₂ и ср₂ соответственно (рис. 7.61), то.

или.

Отсюда можно найти скорость в любой точке траектории, если траектория известна.

Задача 7.25. Разность потенциалов между катодом и экраном кинескопа равна U = 10 кВ. С какой скоростью электроны попадают на экран?

Решение. На основе уравнения (7.91) пишем:

откуда.

Задача 7.26. Частица массой т, с зарядом q > О налетает из бесконечности на положительный неподвижный точечный заряд Q. На какое минимальное расстояние она может приблизиться к заряду Q1 Скорость частицы на бесконечности v₀.

Решение. Минимальное расстояние будет при лобовом столкновении, при этом при г = r_min налетающая частица останавливается. Имеем:

<�р (°°) = 0. ф (0 = kQ/r_n,_in, так что r_min = 2kQq / mv.

Более сложный случай мы получим, если частица-мишень свободна. Тогда она «убегает» от налетающей частицы. Пусть Л/ — масса частицы-мишени. При максимальном сближении относительная скорость частиц равна нулю.

Закон сохранения энергии дает уравнение.

где v — скорость частиц при максимальном сближении. Второе уравнение даст закон сохранения импульса:

Решая совместно эти уравнения, получим.